Cet Exemple eft celui de l'article 49 de l'Analyse des Infiniment petits, d'où l'on doit neceffairement conclure que M. le Marquis de l'Hôpital ne regardoit que les Maxima & Minima de la feconde forte: car quoiqu'il sçûr bien que la Courbe MDM, qui eft une feconde parabole cubique, avoit une tangente infinie parallele à l'axe AP; il a neanmoins dit que l'on ne pouvoit rien tirer de 2 dxva=0, d'où nous venons de tirer cette tangente infinie: parcequ'il comptoit ne rien tirer, quand il ne tiroit pas un Maximum ou un Minimum réel & fini, tel que font ceux de la feconde forte. 3 III. XXV. Soit l'équation A, 'A, x*—4ax3+4aaxx-6ayxx-+12aayx-8a'yaayy=0, FIG. VI. qui exprime la nature de la Courbe KADBL, dont les coordonnées font AP-x, PM=y, AB=2a; il s'agit de trouver tous les Maxima & Minima de cette Courbe. L'on a en prenant les differences l'équation B, 2x3-64xx+44ax➡6a7x+6aay B. dy dx La fuppofition de dyo donne y= l'on tire, en divisant par xao, les deux équations xx-24x D. y= 34 La valeur de x prife dans l'équation C, étant fubftituée dans l'équation A, donnera l'équation E, E. y=a=¦ AB. Et la valeur de y prife dans l'équation D, & fubftituée F. xo, en A. G. x2a=AB. Et le quotient fera xx−2ax➡zaa, qui ne donne que des imaginaires. Mais Mais la valeur de x prife en F étant mife dans l'équation A, donne les équations H & I, H. yo en A. 1. y=8a=4 AB. Et la valeur de x prise en G & substituée dans A, donne K&L, K. yo en A. L. y=8a=4 AB. En fuppofant prefentement dy∞, ou dx=o, l'on aura 3 axx-ba a x + 4 a'—a ay—o, ou, en divifant a=0,3xx-6ax→+4aa-ay-o, d'où l'on tire qui étant fubftituée dans A, l'on par y= 3 x x - 6 a x + 4 a a a en tirera, outre les imaginaires, l'équation N, N. x=a=}AB. Et par confequent l'équation 0, O. y=a= AB. Le diviseur constant a—o indique deux Max. infinis. Voilà tout ce qu'on peut tirer de l'équation propofée. Il n'y a plus qu'à diftinguer les faux Maxima & Minima d'avec les vrais; & les uns & les autres d'avec ceux qui ne font ni de l'une ni de l'autre efpece. Les équations C & E tirées de la fuppofition de dy=0, & les équations N &O tirées de la fuppofition de dx=o, font connoître (art. 15.) qu'il y a un noeud ou un faux Maximum ou Minimum dans la Courbe proposée au point D, qui eft déterminé par xay={AB=ED. XXVI. Si les fubftitutions des valeurs de x prises dans les équations F & G n'avoient donné chacune qu'une feule valeur de y, elles n'auroient déterminé que des Maxima ou des Minima: mais parceque chacune en a donné deux H & 1, K & L ; il fuit qu'il y a deux appliquées qui rencontrent la Courbe en deux points, l'une en A où xo, & l'autre en B où x=2a, & ces appliquées font en chaque point =0&=8a; c'est-pourquoy pour s'affurer fi c'est au point A ou B où yo, ou aux points où y=8a que le raport de dy à dx eft infini, ou s'il eft par 1706, F tout infini, il faut chercher (art. 5. & 10.) le raport de dy à dx aux points où ces appliquées rencontrent la Courbe, & l'on trouvera qu'il eft infini au point A, où x=0 =y, & au point В, où x=1a &y=o, & qu'il eft comme 12 à 1, tant au point où x=0&y=8a, qu'au point où x=2a&y=8a; ce qui fait voir que l'axe AB touche la Courbe aux points A & B, & que y— 8 a n'est ni un Maximum ni un Minimum. Si l'on fubftitue les valeurs de x & de y prifes dans les équations C & E, qui déterminent le nœud D, dans l'équation B; elle fe changera en celle-ci, **;=;, qui est un raport indéterminé. dx dy Si pour le déterminer on y applique l'article 163. de l'Analyse des Infiniment petits, on trouvera dy 2√2 I XXVII. L'équation A étant proposée sous la forme P, P. x=a+V2ay±vaa+ay, exprimera le rameau KAD, s'il y a-vaa-ay; elle exprimera le rameau DBL, s'il y a +vaa+ay; de forte que fi l'on veut trouver en particulier les Maxima & Minima de chaque rameau, l'on aura en differentiant l'équation P, celle-ci Q2 dy Et la fuppofition de dyo donnera y=0&y=—a, & mettant zero premiere valeur de y dans l'équation P, l'on en tirera x pour le rameau KAD, &x=2a pour le rameau DBL, qui font les mêmes valeurs qu'on a trouvées par le moyen de l'équation génerale. Mais fi l'on fubftituë -a feconde valeur de y dans l'équation P, l'on ne trouvera que des imaginaires. = La fuppofition de dy∞o donne a=o, qui indique deux Maxima infinis, &y=-2 a qui rend la valeur correspondante de x imaginaire. IV. XXVIII. Soit l'équation A, A. y= 43 qui exprime la nature de la Courbe KBCAMBL, dont FIG. VIIL les coordonnées font AP=x, PM≈y, & l'axe AB—a. Il est question de trouver tous les Maxima & Minima de cette Courbe. dy dx L'on aura, en prenant les differences, cette équation, teur & le dénominateur par leur commun diviseur a—x il viendra l'équation B, B. dy = a az ax + xx dx 24 Mais le commun divifeur a-xo donne C, C. x=a. Et mettant cette valeur de x dans l'équation A, l'on en tire l'équation D, D. y=0. Or il eft clair, à cause du commun divifeur, que l'on au- Én fubftituanta & o valeurs de x & dey dans l'équation Et fubftituant cette valeur de x dans l'équation A, l'on F. y=+aV10v5-22. Et parceque la fuppofition de dyo ne donne aucune autre valeur de x, il fuit qu'il n'y a dans toute la Courbe que les points D & C déterminés par xa-avs= AB, & par y={a VI0v5—22=ED=EC, où les tangentes foient patalleles à l'axe AB des x. = La fuppofition de dy∞o donne les deux équations G&H, G. x=0. H. x2a. FIG, IX. Et mettant ces deux valeurs de x dans l'équation A, l'on aura les deux valeurs correfpondantes de y 1& K, I. yo. K. y=∞. Les équations correfpondantes G & I montrent que la tangente en A eft parallele aux ordonnées PM. Et les équations H&K font voir qu'ayant prolongé AB en G 'enforte que BG AB, la ligne IGH menée par G parallele à PM fera afymptote aux rameaux BK,BL. : L'équation E s'eft presentée dans cet état x=3a+ avs mais parceque aavs excede 2a, & que l'on voit par l'équation A que lorfque x excede 2a, y eft imaginaire, on l'a mife dans l'état où elle eft en E, qui eft le feul qui répond à l'équation F. XXIX. Une ligne AB étant coupée par le milieu en C, illa faut couper en un autre point D, enforte que le rectangle ADxDB foit plus grand que tous fes femblables. Ayant fuppofé le Problême réfolu & nommé la donnée AC, ou CB, a; & l'inconnue CD, x; AD fera a+x; & DB, a-x; & les qualités du Problême donnerontaa-xx qui doit être un Maximum. En égalant cette expreffion day, l'on a aa-xx-ay; donc en prenant les differences l'on a 22=2*, & fuppofant dy=o, l'on a x=o, qui étant substitué dans l'équation primitive donne ya ; & partant (art. 22.) x=o réfout le Problême. dx 2x a |