II. A PROBLEME. XXX. Trouver quelle doit être la fituation du gouvernail d'un Vaiffeau, afin que l'eau agiffe fur ce gouvernail avec plus de force que dans toute autre fituation, & que par confequent le Vaiffeau puisse virer le plus promptement qu'il foit pollible. SOLUTION. Soit AB, la quille du Vaiffeau; BD, le gouvernail dans FIG. X. une fituation quelconque; EC, un filet d'eau parallele à AB. Il est clair que l'eau fera le même effort contre le gouvernail BD, foit que l'eau étant en repos, le Vaiffeau le meuve de B vers A avec une certaine viteffe, ou que le Vaiffeau étant en repos, l'eau fe meuve de E vers C avec la même vitesse. Suppofons donc que le vaiffeau étant en repos le filet d'eau EC frape le gouvernail BD avec une vitesse conftante & uniforme que je nomme a. Soient menées par Cles lignes CH perpendiculaires au gouvernail BD, qui rencontre en H la quille AB prolongée; CI perpendiculaire à AB. En prenant BC, que je nomme auffi a, pour le finus total, IC fera le finus de l'angle d'incidence BCE, ou CBI du filet d'eau EC fur le gouvernail BD; & BI le finus de l'angle BCI IHC. Nommant donc IC, x; & BI, Z; il eft clair que la fomme des efforts de tous les filets d'eau comme EC, qui poufferoient CI qui leur eft perpendiculaire fera ax; & nommant encore fg la fomme des forces dont le gouvernail eft pouffé felon CH en vertu de axi & ay la fomme des forces dont la quille eft pouffée felon CI en vertu de fg, qui eft ce que l'on cherche, l'on aura par les loix de la Mechanique a x. fg (:: BC. IC):: a. x, &fg. ay (::CH.CI :: CB. BI): : a. 2: & en multipliant terme par terme ces deux analogies, l'on aura fgax. fgay:: aa. xy, xxx cay, ou Vaax 4x6 =ay, en mettant pour sa valeur Vaa-xx: Et parceque ay doit être un Maximum, il faut prendre les differences de z dy cette équation, d'où l'on tirera Et fuppofant dyo, l'on a 2aax-3x=0, d'où l'on tire x=o,&x=av. Et mettant zero premiere valeur de x dans l'équation primitive, l'on en tire yo; d'où il fuit (art. 22.) que xo ne réfout point le problême : mais fi l'on substituë av feconde valeur de x dans la même équation primitive, l'on en tirera yav, qui fait voir (art.22.) que xav réfout la quefton; & il eft inutile de paffer à la fuppofition de dy=co. AVERTISSEMENT. 11 me femble en avoir dit affez pour qu'il ne fe rencontre plus de difficultés fur ce qui regarde les questions de Maximis & Minimis, foit que les équations foient affe&ées de fignes radicaux, ou qu'elles en foient délivrées; & partant que les difficultés propofées par nôtre Geometre ne doivent plus paffer pour telles aprés le détail que je viens de faire fur toute cette matiere. Voici neanmoins en peu de mots les réponses qu'on y peut faire. L'on remarquera qu'elles appartiennent aux questions de Maximis & Minimis de la premiere forte: car il n'y en a point à faire fur celles de la feconde forte aprés ce que nous avons dit. Réponse à la premiere difficulté. Si c'est un Maximum que l'on cherche, on choifira la valeur de x qui répond à la plus grande valeur dey, foit qu'elle foit tirée de la fuppofition de dyo, ou de celle de dy∞, Au contraire, fi l'on cherche un Minimum. Réponse à la feconde difficulté. Elle eft la même que la réponse à la difficulté précedente. Réponse à la troifiéme difficulté. Elle eft quelquefois aifée à lever par la feule inspection des termes de l'équation. Autrement il faut affigner à x une valeur un peu plus gran de ou moindre que celle qui répond au Maximum ou Minimum dont il s'agit, & la valeur correfpondante de y dé. cidera la question. Réponse à la quatrième difficulté. Elle résoluë, art. 26. Réponse à la cinquiéme difficulté. C'est alors un noeud, ou un faux Maximum ou Minimum. On s'en affurera par l'article 15. REMARQUES. XXXI. On pourroit encore trouver les Maxima & Minima des Courbes, ou en faifant les foûtangentes, ou les foûperpendiculaires infinies ou nulles, pourvû qu'en ce dernier cas les coordonnées fuffent à angles droits : mais parceque ces methodes allongent plutôt le calcul que de l'abreger, on ne s'y arrête point. XXXII. Il y a une methode qui feroit, fans contredit, la plus fimple de toutes, fi elle étoit generale: mais elle ne s'étend facilement qu'aux équations où les deux inconnues x &y, ou au moins l'une des deux a deux dimenfions. Si les deux inconnuës font au fecond degré, l'on trouvera tous les Maxima & Minima de l'une & de l'autre: mais s'il n'y en a qu'une, on ne trouvera que les Maxima & Minima de l'autre. La methode eft d'extraire les racines de l'équation qui exprime la nature de la Courbe, de la maniere qu'on extrait les racines des équations du fecond degré, & d'égaler à zero la quantité qui fe trouve affectée des fignes. Soit, par exemple, l'équation xx=ax-yy. L'on a en extrayant les racines xavaa-yy, & faifant vaa―yy=o, l'on a xa, qui détermine un Maximum dey: car en fubftituant a valeur de x dans l'équation primitive, ou en se servant de v¦aa—yy—o, l'on aura ya. Si l'on met prefentement l'équation primitive en cet état yya x-xx, l'on en tirerayvax-xx, ou, en fuppofant va x-xx=o, y=o; & fubftituant cette valeur de y dans l'équation primitive, ou fe fervant de yax xx, parceque x n'y excede deux dimenpas fions, l'on en tirera x & xa, pour les valeurs de x qui répondent à yo, & ces valeurs font les mêmes que celles que l'on trouveroit par les methodes ordinaires. Soit encore l'équation yy= aax➡laxx+x3 l'on a en extrayant les racines y=, & par la fuppofition ܸܐ =0, l'on a y=o. Et fubftituant o valeur de y dans l'équation primitive, ou fe fervant de 4*V* l'on en tire x & xa qui répondent à yo, pour La verité de cette methode eft facile à démontrer: car les racines d'une équation font égales, lorfque leur difference eft nulle; & le raport de dx à dy eft (art. 3.) infini ou indéterminé au point où il y a égalité de racines. XXXIII. Il y a auffi des Geometres qui prenent pour Maxima & Minima les plus grandes & les moindres appliquées des Courbes, quoiqu'aux points où ces appli quées rencontrent ces Courbes, le raport de dx à dy ne foit point infini, & que par confequent les tangentes en ces points ne foient point paralleles aux coordonnées. FI. XI. Telle eft l'appliquée ED, qui rencontre la Courbe AMF au point de rebrouffement E, & ainfi des autres de cette forte. On trouvera donc ces fortes d'appliquées de la même maniere que l'on trouve les points de rebrouffement. FIG. XII. Telle eft auffi l'appliquée ED, qui rencontre la Courbe DF au point D, de la ligne DH, qui termine la Courbe, & qui fait avec elle un angle oblique en D. L'on déterminera ces fortes de Maxima & Minima, en cherchant fur l'axe AP le point E, qui fepare les ordonnées réelles PM d'avec les imaginaires qui font au-delà de EH par raport à P, II |