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comme la moitié de AE, fçavoir AG, eft à EH, ainfi la moitié de CE, à fçavoir EH eft à EF. C. Q. F. D. il en eft de même au demi Cercle.

COROLLA IRI.

Il s'enfuit de là que fi le rayon eft donné, avec le Sinus droit de quelque arc, on trouvera le Sinus verfe d'un arc double; & enfuite l'on trouvera auffi le Sinus verfe de cet arc double.

che 2.

Fig 15.

Soit, , par exemple, le demi rayon AG 9. & EH PlanSinus droit de l'arc ED 6. on trouvera le Sinus verfe EF 4. Car puifqu'il y a même raifon de AG à EH, que de EH à EF, il eft évident, fuivant les regles des proportions, que le quarré de EH eft égal au produit de AG, EF. Si donc on divife le quarré de EH qui eft 36. par la valeur du demi rayon 9. il viendra le Sinus verfe cherché; à fçavoir 4.

Et pour trouver la valeur de CF Sinus droit de CE, double de ED, aprés avoir trouvé le Sinus verfe, il faut trouver (par la Propofition 4.) le Sinus droit du complement de cet arc double, & par le moyen de ce Sinus droit, trouver (par la 2. Propofition ) les Sinus droit cherché.

Ou bien il s'enfuit qu'étant donné le Sinus verfet d'un arc avec le demi rayon, on trouvera le Sinus droit d'un arc, qui fera la moitié de l'arc propofé: Car puifqu'il y a même raifon du demi rayon au Sinus cherché, qu'il y a de ce même Sinus, au Sinus verfe de l'arc double propofé, il est évident par les regles des proportions, que fi l'on multiplie les deux extremes donnez, l'un par l'autre, le produit fera le quarré du Sinus cherché.

Soit, par exemple AG 9. &EF 4. fi vous les mul

Fig. 8,

cine quarrée 6. fera la valeur du Sinus droit cher

ché EH.

PROPOSITION VII.

THEOREM E.,

La tangente d'un arc eft au rayon, comme le Sinus
droit de cet arc, eft au Sinus droit
de fon complement. ou
ED:AD:: GF: AG=FB

A

U quart de Cercle ADC, foit DE tangen te de l'arc DF, dont FG eft le Sinus droit, & foit FB Sinus droit de fon complement FC; je dis qu'il y a même raifon de la tangente DE au rayon DA, que de FG à FB, ou à GA son égale.

Pour le prouver. Aux deux triangles EDA, FGA, les deux angles G, & D font droits & égaux, & l'angle A commun; partant ces deux triangles font équiangles,, & ont les côtez au tour des angles égaux G, & D, proportionnaux; c'eft-à-dire que comme ED eft à DA, ainfi FG eft à GA, ou a FB fon égale.

On peut convertir ainfi cette propofition, en difant qu'il y a même raifon de FB, Sinus d'un arc donné à FG Sinus de fon complement, qu'il y a du rayon AD, à la tangente de ce même comple

ment DE.

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Etant donc donné le Sinus droit d'un arc, & celui de fon complement, avec le rayon, on trouvera la tangente de ce même complement; car puifque ces quatre chofes font proportionnelles, il

tipliez l'un par l'autre, & le produit divifé par Fig.
l'extrême connu, il viendra l'autre extrême cher-
ché.

Soit, par exemple AG, ou fon égal FB 6. FG 8. AD 10. DE fera 13. &, ou 3. Car 8. multiplié par 10. font 80. lefquels divi fez par 6. vient 13. ou pour la tangente cherchée.

PROPOSITION VIII.

THEOREM E.

Le rayon eft moyen proportionnel entre la tangente d'un arc, & la tangente de fon complement. ou

S

AG-DF:GF-AD::AB-AD: BE. ausa des triangle Oit ici la ligne DF tangente de l'arc DC, & Fig. 9: BE tangente de fon complement CB; je dis que comme DF eft aù rayon AD; ainsi le ÂD, ou AB eft à la tangente BE.

rayon

Pour le prouver. Du point F, foit menée FG, parallelle à AD qui lui fera égale, puifque ce font les côtez oppofez du parallelogramme GD.

Maintenant aux deux triangles ABE, AGF les deux angles G & B font droits & égaux, & l'angle A commun, partant ces deux triangles font équiangles, & ont les côtez au tour des angles égaux GB, proportionnaux; c'eft-à-dire, que comme AG, ou DF fon égale, eft à GF, ou à fon égale AD; ainfi AB ou son égale AD, eft à BE, C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

Etant donc donnée la tangente d'un arc, avec fon rayon, on trouvera la tangente de fon complemet, par exemple.

Fig. 12.

Fig. 12.

puifque DF eft à AD, comme AD est à BE; fi on multiplie AD 10. quarrément, & que l'on divife le produit 100. par DF 8. le Quotient sera 12 i qui fera la tangente cherchée.

PROPOSITION IX.

THEOREM E.

Le rayon eft moyen proportionnel entre le Sinus droit d'un arc, & la fecante de fon complément.

S

AF-BC: AC; AD-AC: AE

Oit CB Sinus droit de l'arc GC, & AE fecante de fon complément CD ; je dis que le rayon AC, ou AD eft moyen proportionnel entre BC & AE; c'est-à-dire que comme BC eft à AC, ainfi AC eft à AE.

Pour le prouver. Aux deux triangles EAD, CAF, les deux angles F & D font droits & égaux, & l'angle A commun, & partant ces deux triangles font équiangles, & ont les côtez au tour de l'angle commun A, proportionnaux. C'est-à-dire que comme AF, ou BC fon égale, est à AC, ainfi AC, ou AD fon égale eft à AE. C. Q. F. D.

}

COROLLAIRE I.

Le Sinus droit d'un arc étant donné, avec le rayon, on trouvera la fecante de fon complement; car puifqu'il y a même raifon du Sinus droit de cet arc, au rayon, que du rayon, à la fecante de fon complément; le quarré du rayon étant divifé par le Sinus droit connu, il viendra la fecante que l'on cherche; ainfi fi AF, ou BC fon égale, eft 6. & le rayon AC 10. la fecante AE fera 16..

COROLLAIRE II.

Etant donné le Sinus droit d'un arc, avec lá rayon, on trouvera la fecante de cet arc; car le Sinus droit d'un àrc étant donné, on trouve le Sinus droit de fon complément (par le Coroll. de la 2.) enfuite dequoi il ne faut que fe fervir du raifonnement précedent, & l'appliquer à ce Sinus ; car il y a même raifon du Sinus droit du complément au rayon, que du rayon à la fecante de l'arc donné.

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