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comme la moitié de AE, sçavoir AG, est à EH, ainsi la moitié de CE, a sçavoir EH eft à EF. C. Q. F. D. il en est de même au demi Cercle.

COROLL AIRE.

che 2•

.

• کل Fig

Il s'ensuit de la que

si le rayon eft donné, avec le Sinus droit de quelque arc, on trouvera le Sinus verse d'un arc double ; & ensuite l'on trouvefa aussi le Sinus verre de cet arc double.

Soit, par exemple, le demi rayon AG 9. & EH PlanSinus droit de l'arc ED 6. on trouvera le Sinus verse EF 4. Car puisqu'il y a même raison de AG à EH, que de EH à EF, il est évident, suivant les regles des proportions, que le quarré de EH est égal au produit de AG, EF. Si donc on divise le quarré de EH qui est 36. par la valeur du demi rayon 9. il viendra le Sinus verse cherché; à sçavoir 4.

Et pour trouver la valeur de CF Sinus droit de CE, double de ED, aprés avoir trouvé le Sinus verse, il faut trouver par la Proposition 4: ) le Sinus droit du complement de cet arc dou. ble, &

far

le moyen de ce Sinus droit , trouver (par la 2. Proposition ) les Sinus droit cherché.

Ou bien il s'ensuit qu'étant donné le Sinus verse d'un arc avec le demi rayon , on trouvera le Sinus droit d'un arc , qui sera la moitié de l'arc proposé : Car puisqu'il y a même raison du demi rayon au Sinus cherché, qu'il y a de ce même Sinus, au Sinus verse de l'arc double proposé, il est évident par les regles des proportions, que fi l'on multiplie les deux extrêmes donnez, l'un par l'autre, le produit sera le quarré du Sinus cherché.

Soit, par exemple AG 9. & EF 4. si vous les mul

cine quarrée 6. sera la valeur du Sinus droit chers
ché EH.

PROPOSITION VII.

1

THEORE ME.

La tangente d'un arc est au rayon, comme le Sinus
droit de cet arc, est au Sinus droit

de son complement. ou
ED:AD:: GF: AG: FB
U quart'de Cercle ADC, soit DE tangen-

te de l'arc DF, dont FG eft le Sinus droit,
& soit FB Sinus droit de son complement FC ; je
dis qu'il y a même raison de la tangente DE au

rayon DA, que de FG à FB, ou à GA son égale. Fig. 8, Pour le prouver. Aux deux triangles EDA, FGA,

les deux angles G, & D sont droits & égaux, &
l'angle A commun ; partant ces deux triangles
font équiangles, , & ont les côtez au tour des an-
gles égaux G, & D, proportionnaux ; c'est--dire
que comme ED est à DA, ainfi FG est à GA, ou
á FB son égale.

On peut convertir ainsi cette propofition, en
disant qu'il y a même raison de FB, Sinus d'un
arc donné à FG Sinus de son complement , qu'il y a
du rayon AD, à la tangente de ce même comple-
ment DE.

COROLLA I R E.

Etant donc donné le Sinus droit d'un arc, & celui de son complement, avec le rayon , on trou. vera la tangente de ce même complement ; car puisque ces quatre choses sont proportionnelles, il

tipliez l'un par l'autre, & le produit divisé par Fig. 8
l'extrême connu, il viendra l'autre extrême cher-
ché.

Soit , par exemple AG, ou son égal FB 6. FG 8.
AD 10. DE sera 13. &ž, ou . Car 8. multiplié par
Jo. font 80. lesquels divi sez par 6. vient 13. ou
i pour

cherchée.

la tangente

PROPOSITION VIII.

THEOREME.

S

Le rayon eft moyen proportionnel entre la tangente

d'un arc , & la tangente de son complement. ou,
AG-DF:GF=AĎ::AB=AD: BE. deuse ou triangle

Tumblets
Oit ici la ligne DF tangente de l'arc DC , & Fig. 9.

BE tangente de son complement CB; je dis que comme DF eft aù rayon AD; ainsi le

rayon ĀD, ou AB eft à la tangente BE.

Pour le prouver. Du point F, foit menée FG, parallelle à AD qui lui sera égale , puisque ce sont les côtez oppofez du parallelogramme GD.

Maintenant aux deux triangles ABE, AGF les deux angles G & B sont droits & égaux, & l'angle A commun, partant ces deux triangles sont équiangles , & ont les côtez au tour des angles égaux GB, proportionnaux ; c'est-à-dire , que comme AG , ou DF son égale , est à GF, ou à son égale AD; ainsi AB ou son égale AD, eft à BE ; C. Q. F. D.

COROLLA I R E.

Etant donc donnée la tangente d'un arc , avec son rayon , on trouvera la tangente de fon complemet, par exemple.

puisque DF eft à AD, comme AD est à BE; fion multiplie AD 10. quarrément, & que l'on divise le produit 100. par DF 8. le Quotient sera 12 i qui fera la tangente cherchée.

PROPOSITION IX.

THEOREME.

Le rayon eft moyen proportionnel entre le Sinus droit Fig. 12

d'un arc , e la fecante de son complément.

AF-Be: AC:; AD=AC: AE Oit CB Sinus droit de l'arc GC, & AE fecanson CD que

le

rayon AC, ou AD est moyen proportionnel entre BC & AE ; c'est-à-dire que comme BC est à AC, aingi AC est à AE.

Pour le prouver. Aux deux triangles EAD, CAF , les deux angles F & D sont droits & égaux, & l'angle A commun, & partant ces deux triangles sont équiangles , & ont les côtez au tour de l'angle commun A, proportionnaux. C'est-à-dire que comme AF, ou BC son égale, eft à AC, ainsi AC, ou AD son égale est à AE. C. Q.F. D).

COROLLAIRE I.

Fig. 12.,

Le Sinus droit d'un arc étant donné, avec le rayon, on trouvera la secante de son complement; car puisqu'il y a même raison du Sinus droit de cet arc, au rayon, que du rayon, à la secante de son complément ; le quarré du rayon étant divisé par le Sinus droit connu , il viendra la secante que l'on cherche; ainsi li AF, ou BC son égale , est 6. & le rayon AC 10. la secante AE sera 16. j.

COROLL AIRE II.

Etant donné le Sinus droit d'un arc, avec le rayon, on trouvera la secante de cet arc; car le. Sinus droit d'un arc étant donné, on trouve le Sinus droit de son complément (par le Coroll. de la 2.) ensuite dequoi il ne faut que se servir dy raisonnement précedent,& l'appliquer à ce Sinus ; car il y a même raison du Sinus droit du complément au rayon , que du rayon à la fecante de l'arc donné.

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