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SECONDE PARTIE.

De la conftruction des Tables des Sinus des Tangentes, & des Secantes.

PROPOSITION FONDAMENTALE

De la maniere de conftruire les Tables des Sinus.

S

Upposé ce qui a été démontré en la premiere partie, & prenant certaines chofes pour accordées, qui ont été prouvées dans les Elemens d'Euclide, la chofe n'eft pas fi difficile qu'elle paroît

d'abord.

Le diametre du Cercle eft fuppofsé valóir 200000 parties par quelques-uns, & par d'autres plus ou moins; mais nous nous tenons à cette divifion commune, qui eft de 200000. fur ce pied.

Le côté de l'exagone infcrit au Cercle vaut 100000. Car il eft égal au rayon du Cercle (par la 15. du 4.)

Le côté du triangle équilateral infcrit au Cercle, vaut 173205. Car le quarré d'un tel triangle eft égal à trois fois le quarré du rayon (par la 12. du 13.) de forte que fi l'on prend trois fois le quarré de 100000.& que de la fomme on prenne la racine quarrée, ce fera la valeur du côté de ce triangle.

Le côté du quarré infcrit au Cercle, vaut 141421. Carpar la 6. du 4. ) le côté du quarré infcrit au

les deux autres côtez font les rayons du Cercle; d'où réfulte que le côté du quarré infcrit au Cercle, eft la racine quarrée de deux fois le quarré

du rayon.

Le côté du Pentagone vaut 117557. Car (par la 10. du 13. le quarré du côté du Pentagone eft égal aux quarrez des côtez de l'Exagone & du decagone,de forte que fi l'on prend les quarrez de 100000. & de 61804. qui font les côtez de l'Exagone & du decagone, la racine quarrée de leur fomme fera le côté du Pentagone.

Le côté du Decagone vaut 61804. dautant que (par la 9. du 13.jle côté du Decagone eft le moindre fegment d'une ligne coupée en la moyenne, & extrême raifon, qui feroit compofée du côté de l'exagone, & du côté du Decagone pris enfemble; & par le Corollaire de la même Propofition, c'eft le plus grand fegment du côté de l'Exagone ou du rayon, ainfi coupé.

C'eft pourquoi (par la 11. du 2.) fi l'on ôte le demi rayon soooo. de la racine quarrée du quarré du rayon, & du quarré du demi rayon pris enfemble, il refte 61803, pour côté du Decagone; & dautant qu'il refte encore 89191. qui eft plus de joooo. l'on ajoûte une unité dans les Tables, & l'on met d'ordinaire 61804. pour côté du Decagone.

Plan

Le côté du Quindecagone vaut 41582. car (par che 2. la 6. du 4. le côté du Quindecagone eft une ligne Fig.13. droite, comprife entre la Bafe d'un triangle Equilateral, & celle d'un Pentagone infcrit au Cercle, & commençant en un même point; telle qu'eft ici DE qui eft comprife entre les Bafes DH, & EG. Or la valeur ou la quantité de DE fe peut trouver ainfi. DH eft connu étant le côté d'un triangle Equilateral infcrit au Cercle; EG eft auffi connu étant le côté d'un Pentagone. Partant leurs moi

tiez DK, EL font auffi connues, qui font les Si nus droits des arcs FD, FE; d'où s'enfuit que leur difference DI fera auffi connue..

De plus dautant que EM, ou LA son égale est le Sinus droit du complement de FE, & que DN, ou AK fon égale eft le Sinus droit du complement de FD, les deux lignes AK, AL viendront connuës, (par la 2. Prop. de là 1. Partie.) & partant leur difference auffi KL, ou fon égale IE; fi donc au triangle rectangle DIE, les deux côtez DI & IE étant connus, on prend leurs quarrez, ils compoferont enfemble le quarré de DE, dont la racine quarrée fera DE, côté du quindecagone cherché. C. Q. F.D.

Le côté de l'exagone contient
Le côté du triangle en contient
Le côté du quarré en contient
Le côté du pentagone en contient
Le côté du decagone en contient

60. degrez

I20.

90.

72.

36.

Le côté du quindecagone en contient 24.

Le côté de l'exagone qui eft égal au rayon, vaut

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Le côté du quindecagone en vaut

41582.

Cela fuppofé, pour conftruire les Tables des Sinus,il n'y a plus d'autre fatigue à effuyer que la longueur du travail; car il ne faut rien fuppofer autre chofe que ce qui eft contenu dans les propofitions précedentes.

Les fourendantes de foixante degrez font

100000.parties.

de 120. degreż

173205.

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Defquelles fi l'on prend les moitiez, on aura les

Sinus

de 30. degrez

de Go. d.

de 45. d.

Soooo. parties

86602.

70710.

de 36. d.

de 18. d.

de 12.
d.

58779.

30902.

20701.

Et par le moyen de ces Sinus trouvant la corde de leurs arcs ( par la 4. & 5. Prop. de la 1. Partie.) on aura auffi des Sinus de la moitié de leurs arcs, & des moitiez de leurs moitiez; puis des complements des ces moitiez, & des moitiez de ces complements; & à la fin cela donnera la plus grande partie de tous les Sinus que l'on cher che, excepté feulement quelque peu que vera (par la 3. & 6. de la 1 Partie.)

I

PROPOSITION II.

l'on trou

De la maniere de conftruire les Tables des Tangentes

Dily a même raifon de la tangente d'un arc Autant que par la 7. Prop. de la 1. Partie)

au rayon du Cercle, que du Sinus droit de cet arc, au Sinus droit de fon complement; & dautant auffi que les Sinus droits de tous les arcs du Cer cle font connus, ( par la précedente), il s'enfuit que fi l'on multiplie le rayon droit par le Sinus d'un arc, & que l'on divife le produit par le Sinus droit de fon complement, il viendra la tangente de l'arc propofé, & par ce moyen l'on pourra achever toutes les Tables des tangentes; mais dau

tant que par la 8.) le riyon eft moyeh proportionnel entre la tangente d'un arc, & la tangente de fon complement, l'on abregera de moitié les operations d'Arithmetique ci-deffus prefcrites, en prenant une feule fois pour toutes le quarré du rayon, & le divifant fucceffivement par les tangentes de tous les arcs moindres que 45. deg. qu'on aura déja trouvées par le premier moyen; car ce qui viendra vous donnera les tangentes des complements de tous ces arcs.

PROPOSITION III.

De la maniere de conftruire les Tables des Secantes.

C

Omme par la 9. de la 1. Partie) le rayon eft moyen proportionnel entre le Sinus droit d'un arc, & la fecante de fon complement, il s'enfuit que fi l'on prend le quarré du rayon, & qu'on le divife fucceffivement par tous les Sinus droits de tous les arcs de Cercle, que l'on fuppofe connus par les précedentes), l'on aura fucceffivement les fecantes des complemens de tous ces arcs; & ainfi l'on aura les Tables des Secantes. Je croi avoir affez fatisfait dans la premiere Partie, au deffein que je m'étois propolé dans ce Traité; c'eft-à-dire d'enfeigner en peu de mots la maniere de conftruire les Tables des Sinus, Tangentes & Secantes, afin de donner aux Curieux le plaifir de fçavoir comme ces Tables ont été calculées; ce qui doit fuffire; dautant que ceux qui s'attachent à la Trigonometrie, doivent plutôt s'appliquer à la theorie des triangles, & à la maniere d'en calculer les angles & les côtes, que de perdre le tems à rechercher quantité de chofes par

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