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SECONDE PARTIE.

De la construction des Tables des Sinus

des Tangentes, & des Secantes.

PROPOSITION FONDAMENTAL E.

De la maniere de construire les Tables des Sinus.

Upposé ce qui a été démontré en la premiere

&
prenant certaines choses

pour accordées , qui ont été prouvées dans les Elemens d’Euclide , la chose n'est pas si difficile qu'elle paroît d'abord.

Le diametre du Cercle est supposé valóir 200000 parties par quelques-uns , &

par

d'autres plus ou moins ; mais nous nous tenons à cette division coma mune, qui est de 200000. sur ce pied.

Le côté de l'exagone inscrit au Cercle vaut 100000. Car il est égal au rayon du Cercle (par la 15.

du 4.) Le côté du triangle équilateral inscrit au Cercle, valit 173205. Car le quarré d'un tel triangle est égal à trois fois le quarré du rayon ( par la 12. du 13. ) de sorte que si l'on prend trois fois le quarré de 100000.& que de la somme on prenne la racine quarrée, ce sera la valeur du côté de ce triangle.

Le côté du quarré inscrit au Cercle, vaut 141421. Car ( par la 6. du 4. ) le côté du quarré inscrit au

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du rayon,

les deux autres côrez sont les rayons du Cercle'; d'où résulte que le côté du quarré inscrit au Cercle', est la racine quarrée de deux fois le quarré

. Le côté du Pentagone vaut 117557. Car ( par la 10. du 13. ) le quarré du côté du Pentagone est égal aux quarrez des côtez de l'Exagone & du decagohe,de sorte que si l'on prend les quarrez de 100000. & de 61804. qui sont les côtez de l'Exagone & du decagone, la racine quarrée de leur somme fee ra le côté du Pentagone.

Le côté du Decagone vaut 61804. dautant que (par la g. du 13.)le côté du Decagone est le moindre segment d'une ligne coupée en la moyenne , & extrême raison, qui seroit composée du côté de l'exagone , & du côté du Decagone pris ensemble; & par le Corollaire de la même Proposition, c'est le plus grand segment du côté de l’Exagone ou du rayon, ainsi coupé.

C'est pourquoi ( par la 11. du 2: ) si l'on ôte le demi rayon soooo. de la racine quarrée du quarré du rayon, & du quarré du demi rayon pris ensemble , il reste 61803, pour côté du Decagone ; & dautant qu'il reste encore 89191. qui est plus de soooo. l'on ajoûte une unité dans les Tables, & l'ori met d'ordinaire 61804. pour côté du Decagone. Plan

Le côté du Quindecagone vaut 41582. car (pai che 2. la 6. du 4. } le côté du Quindecagone est une ligne Fig. 13. droite , comprise entre la Base d'un triangle Equilateral , & celle d'un Pentagone inscrit au Cercle ; & commençant en un même point; telle qu'est ici DE qui est coinprise entre les Bases DH, & EG. Or la valeur ou la quantité de DE se peut trouver ainsi. DH est connu étant le côté d'un triangle Equilateral inscrit au Cercle ; EG est aussi connu étant le côté d'un Pentagone. Partant leurs moi

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I 20.

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tiez DK, EL sont aussi connuës , qui sont les Sinus droits des arcs FD, FE ; d'où s'ensuit que leur difference Di sera ausli connuë.

De plus dautant que EM, ou LA son égale est le Sinus droit du complement de FE , & que DN, ou AK son égale est le Sinus droit du complement de FD, les deux lignes AK, AL viendront connuës, (par la 2. Prop: de la 1. Partie. ) & partant leur difference auíli KL, ou son égale IE; fi donc au triangle rectangle DIE, les deux côtez D! & IE étant connus, on prend leurs quarrez, ils composeront ensemble le quarré de DE, dont la racine quarrée sera DE, côté du quindecagone cherché. C. Q. F.D.

Le côté de l'exagone contient 60. degrez
Le côté du triangle en contient
Le côté du quarré en contient 90.
Le côté du pentagone en contient 72.
Le côté du decagone en contient 36.

Le côté du quindecagone en contient 24.
Le côté de l'exagone qui est égal au rayon, vaut

100000. P. Le côté du triangle en vaut

173205 Le côté du quarré en vaut

141421. Le côté du pentagone en vaut

117557• Le côté du decagone en vaut

61804. Le côré du quindecagone en vaut 41582.

Cela fupposé, pour construire les Tables des Sinus, il n'y a plus d'autre fatigue à essuyer que la longucur du travail ; car il ne faut rien supposer autre chose que ce qui est contenu dans les propofitions précedentes. Les fourcndantes de soixante degrez font

100000.parties. de 120. degreż

173205

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30. degrez

de 72. degrez

117557: de 36.d.

61804 de 24. d.

41582. Desquelles si l'on prend les moitiez, on aura les Sinus de

soooo. parties de Go. d.

86602. de 45.d.

70710. de 36. d.

58779. de 18.d.

30902.
de 12.d.

20701.
Et
par moyen

de ces Sinus trouvant la corde de leurs arcs ( par la 4. & 5. Prop. de la 1. Partie. ) on aura aufli des Sinus de la moitié de leurs arcs, & des moitiez de leurs moitiez; puis des complements des ces moitiez , & des moitiez de ces complements ; & à la fin cela donnera la plus grande partie de tous les Sinus que l'on cher, , che, excepté seulement quelque peu que l'on trous vera ( par la 3. & 6. de la 1 Partie.)

le

PROPOSITION II.

De la maniere de construire les Tables des Tangentesa D

Autant que / par la 7. Prop. de la 1. Partie.. il y a même raison de la

tangente

d'un arc au rayon du Cercle, que du Sinus droit de cet arc, au Sinus droit de son complement; & dautant aussi que les Sinus droits de tous les arcs du Cera cle font connus. ( par la précedente ), il s'ensuit que si l'on multiplie le rayon droit par le Sinus d'un arc , & que l'on divise le produit par le Sinus droit de son complement , il viendra la tangente de l'arc proposé, & par ce moyen l'on pourra achever toutes les Tables des tangentes ; mais dau.

tant que ( par la 8. ) le rayon est moyen proportionnel entre la tangente d'un arc, & la tangente de son complement, l'on abregera de moitié les operations d'Arithmetique ci-dessus prescrites, en prenant une seule fois pour toutes le quarré de rayon , & le divisant successivement par les tangentes de tous les arcs moindres que 45. deg. qu'on aura déja trouvées par le premier moyen; car ce qui viendra vous donnera les tangentes des complements de tous ces arcs.

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PROPOSITION III.

De la maniere de construire les Tables des Secantes.

Omme ( par la 9. de la 1. Partie ) le rayon C

est

moyen proportionnel entre le Sinus droit d'un arc , & la secante de son complement, il s'ensuit que si l'on prend le quarré du rayon, & qu'on le divise successivement par tous les Sinus droits de tous les arcs de Cercle, que l'on suppofe connus ( par les précedentes), l'on aura fucceffivement les secantes des complemens de tous ces arcs ; & ainsi l'on aura les Tables des Secantes. Je croi avoir assez satisfait dans la premiere

au dessein que je m'étois proposé dans ce Traité ; c'est-à-dire d'enseigner en peu mors la maniere de construire les Tables des Sinus, Tangentes & Secantes, afin de donner aux Curieux le plaisir de sçavoir comme ces Tables ont été calçulées ; ce qui doit suffire ; dautant que ceux qui ş'attachent à la Trigonometrie , doivent plutôt s'appliquer à la theorie des triangles, & à la mapiere d’en calculer les angles & les côtes, que de perdre le tems à rechercher quantité de choses par

Partie ,

de

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