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PROPOSITION VIII.

0000000 ,

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Trouver le Logarithme d'un nombre proposé.

Our trouver le Logarithme d'un nombre don

né , comme de 9 , qui est entre 1 & 10, donc on connoît les Logarithmes o. 0000000, ou 0. 00000000,1. 00000000 en

les

auga mentant chacun d'un zéro, pour avoir plus exactes ment le Logarithme qu'on cherche , à cause des fractions qui restent aprés la derniere figure; augmentez ausli les deux nombres 1, 10, & tous les autres de la progression Geométrique, d'autant de zéros que leurs Logarithmes en contiennent, comme ici de sept zéros , pour avoir exactement dans le même nombre de figures le Logarithme du nombre proposé 9 , qui alors vaudra autant que 9, 0000000, comme 1. yaut autant que l. 0000000 , que nous appellerons A, & 10, autant que 10. 0000000 que nous appellerons B : & faites ainsi.

Cherchez ( par la 6.) entre A & B un moyen Geometique proportionnel C , qui est moindre que le nombre proposé 9. 0000000 ; C'est pourquoi pour approcher davantage de ce nombre 9, il faudra chercher entre les deux plus proches B &C, un second moyen proportionnel D, qui étant encore moindre que le nombre proposé 9. 0000000 , & plus proche que le nombre trouvé C, on se cherchera entre ce plus proche C, & le plus grand B , un troisiéme moyen proportionnel D, qui étant encore moindre que nombre proposé 9. ooooooo,

cherchera pareillemen tentre ce plus proche D, & le plus grand B, un quatriéme moyen proportionnel E, qui est encore moindre que le proposé

nalata

Nomb. Proport. | Logarithmes. Nomb. Proport. Logarithmes. А 1. 0000000]0. 00000000 0 19.0021388 0.95434570 с 3. 16.2277710. sooooooo

Q9.0008737 0.95428467 B 10. 0000000 1.00000000

P 8.99960880.95422363 B 10. 00000001. 00000000 Q 9.000873710.95428467 D

R 5.6234132 0.75000000

9.0002412 0.95425415 C 3.1622777|0. So000000

P 8.999608810.95422363 B

R 10.0000000 1.00000000

9.000241210.95428467 E 7.4989421 0.87500000 8.9999250 10.95421889 5.6234132 0.7500.0000

8.999608810.95422 363 B 10. 000000011. 00000000

9.0002412 0.95428467 F 9.6596432 0.93750000

T 19.0000831 10.95424652 E 7.498942 10.87500000 S 8.99992501 0.95423889 B 10. 0000000

1. 00000000 T 9.00008310.95424652 G 8. 3057204 0.96875000

V 19.0000041 0.9542 4271 F 8. 65964320: 93750000

S | 8 9999250 0.95423889, G 9.3057204|0. 96875ooo V 19.0000041 0.95424271 H 8.97687131 0.95312 500

X 8.9999650|0.95424080 F 8.64964325.93750000

S 8.9999250 10.95423889 G 9. 305720410.96875000 V 19.0000041|0.95424271 I 9. 13981700. 96093750

Y 8.99998450.95424217 H 8. 5.9768713 0.95312 500

X 8.9999650 0.95424080 I 9.13981700.96093750

V 19.0000041 0.95424271 K 9.0579777 0.95703125

Z 8.9999943 0.95424223 H 8.9768913 0.95312500 K 9. 0579777 0.95703125

V 9.0000041 0.95424271 L 9. 0173333

0.95507812 & 8.9999992 0.95424247 H 8.9768713 0.95312500

Z

8.9999943 0.95424223 L

V 9. 0173333 0.95507812

9.0000041 10.9542417! M 8.9970796 0.95410156

A A9.000001610.95424259 H 8.976871310, 95312500 & 8.9999992/0.95424247 L

9.017333313.95507812 AA! 9.000001610.95424259 N 9.0072008 0. 95458984 B B19.000000410.95424253 M 8.9970796 10. 95410156 & 2.9999992 10.95424247 N 9.0072008 0.95458984 BB 9.9000004095424253 O 9. 0021388 0.95434570 CC 8.9999998 0.95424250 M 997079610.95410156 &

8.99999920.98424247 0 9. 0021388, 0.93434570 BB 9.000000410.95424293 P 8.99960880.99422363 DD 9.0000000 0.95424251

Y: 8.999984510-95424217

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veau entre ce prochainement moindre E, & le plus grand B, un quatriéme moyen proportionnel F, qui quoique moindre que 9. coo0000, en approche plus que le précedent D; c'est pourquoi on cherchera entre ce prochainement moindre F, & le plus grand B, un cinquiéme moyen proportionnel G , qui se rencontrant ici plus grand que 9.0000000,on doit chercher entre ce plus grand G; & le plus petit F, un fixiéme moyen pproportionnel H, qui est bien moindre que g. 0000000 mais non pas avec une si grande difference que F, ainsi entre ce prochainement moindre H, & le prochainement plus grand G, on doit chercher un Tepriéme moyen proportionnel 1, qui est plus grand que 9.0000000, mais non pas avec un sigrand excez que G, c'est pourquoi entre ce prochainement plus grand I, & le prochainement moindre H, il faut chercher un huitiéme moyen proportionnel K, qui quoique plus grand que g. 0000000; en approche encore davantage que le précedent 1. Ainsi en continuant à chercher entre le prochainement moindre, le prochainement plus grand des moyens Geometriques proportionnels, on aura des nombres qui approcheront toûjours de plus en plus du nombre proposé 9. 0000000, lequel enfin se trouve ici le vingi fixiéme moyen Geometrique proportionnel, dont le Logarithme sera connu fans peine ; car comme entre les nombres A, B, on a trouvé un moyen proportionnel Geometrique C; fi entre les Logarithmes des mêmes nombres A, B, on cherche ( par la 7. ) un moyen proportionnel Arithmetique, on aura le Logarithme du moyen proportionnel Geométrique C. C'est de la même façon que les Logarithmes des autres moyens Geométriques proportion

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garithme du dernier 9. 0000000, ou du nombre proposé 9. dont le Logarithme se trouve cel, o. 99424251 , ou o. 95424225 en retranchant la derniere figure i, vers la droite, à cause du zero de surplus que nous avons ajoûté au commencement.

On trouvera de la même façon les Logarithmes des autres nombres entre i , & 10, & des nombres entre 10, & 100, & pareillement des nombres entre 100 & 1000, & ainsi de suite. Mais cette methode ne le droit appliquer qu'aux nombres premiers, c'est-à-dire qu'aux nombres qui ne sont pas divisibles par d'autres ; car quand ils sont composez , & que l'on connoît les Logarithmes des deux nombres qui les produisent par leur multiplication, il est évident par la 3. ) que la somme de ces deux Logarithmes, sera le Logarithne du nombre composé. Ainsi ayant trouvé le Logarithme de 9, le double de ce Logarithme , sera le Logarithme de 81, quarré de 9 , & la moitié du même Logarithme sera le Logarithme de 31 racine

quarrée de 9, ainsi des autres. Nous allons parler plus particulierement des Logarithmes dans l'article suivant.

DE L'USAGE DES TABLES.
Ous avons ajoûté sur la fin de ce Traia

té, deux grandes Tables de nombre , dont la premiere contient les Sinus , les Tangentes, & les Secantes , avec les Logarithmes des Sinus & des Tangentes de tous les degrez & de toutes les minutes du quart de Cercle ; qui sont tellement disposées dans chaque page, que les degrez & lesminutes d'une page, font avec les degrez & les minutes correspondantes de l'autre page qui regarde la prere, toûjours 90. degrez: & qu’ainsi les uns sont

N

mode dans la pratique , où l'on a presque toûjours besoin du complement d'un arc , ou d'un angle que l'on trouve dans l'autre page vis-à-vis des de grez & des minutes de cet arc , sans avoir la peine de les ôter de 9o. degrez. Ainsi l'on connoît que le complement d'un arc, ou d'un angle de 35,16.est de 54. 44. & que le complement d'un angle de so. 20 est de 49. 40. ainsi des autres.

Chaque page contient un demi degré, ou trente minutes, lesquelles sont marquées à côté vers la gauche , & les degrez en haut avec le Sinus , leurs Tangentes & leurs Secantes , pour un Sinus total de 10000000. parties, que l'on peut prendre seulement de 100000 parties dans les petites supputations , telles que sont ordinairement celles de la Geométrie Pratique, en retrachant deux zeros; auquel cas on doit aussi retrancher deux figures à la droite de chaque Sinus , de chaque Tangente , & de chaque Secante. Lesquelles figures pour cette fin, nous avons separées par un point , pour faire connoître qu'il faut s'arrêter à ce point, quand on veut avoir le Sinus , la Tangente, ou la Secante d'un arc, pour un Sinus total de 100000 parties.

Ainsi si l'on vouloit avoir le Sinus d'un angle de 20. degrez & 15. minutes ; il faudroit chercher premierement dans la Table la page, où il y a marqué en haut 20. degrez, & puis descendre tout du long de la colonne des minutes jusqu'à ce qu'on aye rencontré 15. qui corresponde à 34611. qui se trouvent dans la colomne des Sinus ; ce nombre est le Sinus qu'on cherche , c'eft-àdire de 20. degrez & 15. minutes. La Tangente du même angle se trouve auffi dans le même rang, qui est 36891. Pareillement si l'on vouloit avoir la Secante, elle se trouve aussi dans le même rang qui est ici de 106588.

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