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Plan

Remarquez que quand le Triangle eft Ifoceles files trois côtez font connus, pour connoître les angles, il faut du fommet de l'angle enfermé des deux côtez égaux abaiffer une perpendiculaire qui coupera la bafe en deux parties égales, & partant on aura deux côtez & l'angle droit connu; & pour connoître le reste, il faudra operer fuivant le 2. Corollaire de la premiere Prop,

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Après avoir donné dans les Carollaires précedens la maniere de trouver les angles & les côtez des Triangles; par le moyen des Sinus, des Tangentes & des Secantes, il eft à propos de finir cette troifiéme partie & de donner quelques Problêmes qui enfeignent la maniere de trouver les côtez, & les angles d'un Triangle par le moyen des Logarithmes, & pour en faciliter l'ufage; dautant que l'on agit bien plus brievement par cette voye ci que par la précendente, puifqu'au lieu de multiplier & de diviser, il n'eft befoin que d'additionner & fouftraire; ce qui donne beaucoup de facilité dans la pratique.

PROBLEME.

Dans le Triangle ABC, on a l'angle droit C che 2. de connu, & l'angle aigu A avec le côté AC, on Fig.20. demande la valeur du côté BC, il faut proceder

ainfi, comme le Sinus Total de 100000000 est à la Tangente de l'angle A de 49. deg. dont le Logarithme eft de 100608369. ainfi le Logarithme du côté AC de 20. toifes, qui eft de 13010300. eft au Logarithme du côté BC que je cherche.

Remarquez qu'au lieu d'avoir mis fimplement le côté de 20. toifes comme ci-devant, on a mis fon Logarithme qu'on a cherché dans la feconde

additionner le fecond terme avec le troifiéme, c'eft-à-dire 100608369. avec 130010300, leur fomme fera 11361866, d'où ayant fouftrait le premier terme qui eft 100000000, le restant ou la difference fera 13618669. pour le Logarithme du côté BC. Si l'on cherche dans la feconde Table le nombre qui approche le plus de celui ci, il correfpondra à un nombre qui fe trouve de 23, qui eft la valeur du côté BC.

Si dans le même Triangle ABC, on ne connoiffoit que l'angle droit C, avec les deux côtez AC & CB, & que l'on voulût connoître l'angle B, il faudroit chercher le Logarithme du côté BC, auffi bien que celui du côté AC, & puis dire; comme le Logarithme du côté BC eft au Logarithme du côté AC, ainfi le Sinus Total de 100000000 est à la Tangente de l'angle B. Le Logarithme de cette Tangente étant trouvé, il faut chercher dans la premiere Table le nombre qui en approche le plus dans la colomne des Logarithmes des Tangentes il correfpondra à un angle de 41. degrez, qui eft la valeur de l'angle B, & en même tems le complement de l'angle A.

QUATRIE ME PARTIE.

DE LA RESOLUTION DES TRIANGLES

L

SPHERIQUES.

A Trigonometrie Spherique enfeigne la ma→ niere de fupputer les parties d'un Triangle Spherique, par des raifonnemens qui fe tirent des proprietez qui font bien differentes de celles des Triangles rectilignes, étant d'une Theorie beaucoup plus profonde. Nous ferons enforte neanmoins d'expliquer cette quatriéme Partie le plus, brievement qu'il nous fera poffible, en nous fervant de la Sphere artificielle pour expliquer en peu de mots quantité de Theorêmes qui s'entendent, pour ainfi dire, d'eux-mêmes. On suppose pour cela, que ceux qui veulent avoir la connoiffance des Triangles Spheriques, connoiffent au moins la conftruction de la Sphere artificielle. Les Définitions fuivantes pourront fuppléér au défaut de ceux qui ne l'entendent pas comme il faut.

DEFINITIONS.

1. Une Sphere, ou un Globe,' est un corps compris d'une feule fuperficie qu'on nomme Spherique, au dedans duquel il y a un point qu'on nomme centre, duquel toutes les lignes droites menées à cette fuperficie Spherique font egales en

11. Un diametre de la Sphere, eft une ligne droite qui paffe par le centre de la Sphere, & qui fe termine de part & d'autre à la fuperficie Spherique.

III. Un Cercle de la Sphere, eft un Cercle dont la circonference eft dans la fuperficie de la Sphere. IV. Un gtand Cercle de la Sphere, eft un Cercle dont le plan paffe par le centre de la Sphere.

Tous les grands Cercles de la Sphere ayant pour diametres, des diametres de la Sphere, qui font tous égaux entr'eux, il s'enfuit que tous ces grands Cercles font auffi tous égaux entr'eux.

V. Un petit Cercle de la Sphere, eft un Cercle dont le plan ne paffe point par le centre de la Sphere.

Il eft évident qu'il y en peut avoir de plufieurs diverfes grandeurs.

VI. Les poles d'un Cercle de la Sphere, ce font deux points de la fuperficie de la Sphere, chacan defquels eft également éloigné de tous les points de fa circonference.

VII. Un angle Spherique, eft un angle compris de deux arcs de grands Cercles qui s'entrecoupent. VIII. La mefure ou la valeur d'un angle Sphérique, c'eft le nombre des degrez que cet angle comprend, d'un grand Cercle qui a la pointe de l'angle pour pole.

IX. Un Triangle, Spherique eft un Triangle compris de trois arcs de trois grands Cercles qui s'entrecoupent dans la fuperficie de la Sphere. X. Un angle droit Spherique, eft un angle qui eft mefuré par un quart de Cercle.

XI. Un angle obtus Spherique, eft un angle qui eft mefuré par plus d'un quart de Cercle.

XII. Un angle aigu Spherique, eft un angle qui

Voici quelques Theorêmes principaux fur quo les démonftrations fuivantes font appuyées. Il feroit à propos pour qu'on les entendit bien, qu'on eût en lifant ceci une Sphere artificielle à la main, puifque vous en allez voir vous même la néceffité.

THEOREME I.

Les grands Cercles qui s'entrecoupent dans la fuperficie de la Sphere, s'entrecoupent en deux également.

Pour exemple de ceci, confiderez la fection de l'Eclyptique & l'Equateur qui s'entrecoupent en deux également à deux points cardinaux qui font

l'Orient & l'Occident.

THEOREME II.

Si un grand Cercle paffe par le pole d'un autre grand Cercle, il le coupent à angles droits, & au contraire s'il le coupe à angles droits, il paffe par le pole.

Prenez pour exemple un Meridien qui coupe à angles droits l'un où l'autre des Tropiques.

THEOREME III.

L'arc d'un grand Cercle qui eft mené du pole d'un autre grand Cercle, jusqu'à sa circonference, eft un quart de Cercle qui le coupe, ou plutôt qui tombe & s'appuye fur lui à angles droits ; & au contraire un quart de grand Cercle qui tombe ou s'appuye fur un autre grand Cercle, eft mené du pole de ce Cercle jufqu'à fa circonference.

Prenez pour exemple un arc de Cercle renfer

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