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Remarquez que quand le Triangle eft Ilocele, fi les trois côtez sont connus, pour connoître les angles , il faut du sommet de l'angle enfermé des deux côtez égaux abaisser une perpendiculaire qui coupera la base en deux parties égales , & partant on aura deux côtez & l'angle droit connu; & pour connoître le reste , il faudra operer suivant le 2. Corollaire de la premiere Prop.

Après avoir donné dans les Carollaires précedens la maniere de trouver les angles & les côtez des Triangles ; par le moyen des Sinus , des Tangentes & des Secantes, il est à propos de finir cette troiGéme partie & de donner quelques Problèmes qui enfeignent la maniere de trouver les côtez, & les angles d'un Triangle par le moyen des Logarithmes, & pour en faciliter l'usage ; dautant que l'on agit bien plus brievement par cette voyeci que par la précendente , puisqu'au lieu de multiplier & de diviser, il n'est befoin que d'additionner & souf: traire; ce qui donne beaucoup de facilité dans la pratique.

PROBLEM. E.

Plan

Dans le Triangle ABC, on a l'angle droit C che 2. de connu , & l'angle aigu A avec le côté AC, on Fig.20. demande la valeur du côté BC, il faut proceder

ainsi, comme le Sinus Total de 100000000 est à la Tangente de l'angle A de 49. deg. dont le Logarithme est de 100608 369. ainsi le Logarithme du côté AC de 20. toiles , qui est de 13010300. est au Logarithme du côté BC que je cherche.

Remarquez qu'au lieu d'avoir mis simplement le côté de 20. toises comme ci-devant, on a mis fon Logarithme qu'on a cherché dans la seconde

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additionner le second terme avec le troisiéme, c'est-à-dire 100608369. avec 130010300, leur fomme fera 113618664, d'où ayant soustrait le premier terme qui est 100000000, le restant ou la difference sera 13618669. pour le Logarichme du côté BC. Si l'on cherche dans la seconde Table le nombre qui approche le plus de celui ci , il correspondra à un nombre qui se trouve de 23, qui est la valeur du côté BC.

Si dans le même Triangle ABC, on ne connoisfoit que l'angle droit C, avec les deux côtez AC & CB , & que l'on voulût connoître l'angle B, il faudroit chercher le Logarithme du côté BC, aulsi bien que celui du côté AC, & puis dire ; comme le Logarithme du côté BC est au Logarithme du côté AC, ainsi le Sinus Total de 100000000 est à la Tangente de l'angle B. Le Logarithme de cette Tangente étant trouvé, il faut chercher dans la premiere Table le nombre qui en approche le plus dans la colomne des Logarithines des Tangentes, il correspondra à un angle de 41. degrez, qui est la valeur de l'angle B, & en même tems le complement de l'angle A.

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L

A Trigonometrie Spherique enseigne la mad

niere de supputer les parties d'un Triangle Spherique, par des raisonnemens qui se tirent des proprierez qui sont bien differentes de celles des Triangles rectilignes, étant d'une Theorie beaucoup plus profonde. Nous ferons ensorte neanmoins d'expliquer cette quatriéme Partie le plus, brievement qu'il nous sera possible , en nous fervant de la Sphere artificielle pour expliquer en peu de mots quantité de Theorêmes qui s'entena dent, pour ainsi dire, d'eux-mêmes. On suppose pour cela, que ceux qui veulent avoir la connoifCance des Triangles Spheriques, connoiffent au moins la construction de la Sphere artificielle. Les Définitions suivantes pourront suppléér au défaut de ceux qui ne l'entendent pas comme il faut.

DEFINITIONS.

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1. Une Sphere, ou un Globe, est un corps compris d'une seule superficie qu'on nomme Spherique, au dedans duquel il y a un point qu'on nomme centre, duquel toutes les lignes droites menées à cette superficie Spherique sont egales ens

fr'elles,

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1 1. Un diametre de la Sphere, est une ligne droite qui passe par le centre de la Sphere, & qui se termine de part & d'autre à la superficie Spherique.

Ill. Un Cercle de la Sphere , est un Cercle dont la circonference est dans la superficie de la Sphere.

I V. Un grand Cercle de la Sphere , est un Cercle dont le plan passe par le centre de la Sphere.

Tous les grands Cercles de la Sphere ayant pour diametres, des diametres de la Sphere , qui font tous égaux entr'eux, il s'ensuit que tous ces grands Cercles sont aussi tous égaux entr'eux.

V.Un petit Cercle de la Sphere , est un Cercle dont le plan ne passe point par le centre de la Sphere.

Il est évident qu'il y en peut avoir de plusieurs diverses grandeurs.

VI. Les poles d'un Cercle de la Sphere , ce sont deux points de la superficie de la Sphere , chacun desquels est également éloigné de tous les points de la circonference.

VII. Un angle Spherique , est un angle compris de deux arcs de grands Cercles qui s'entrecoupent.

VIII. La mesure ou la valeur d'un angle Sphérique , c'est le nombre des degrez que cet angle comprend, d'un grand Cercle qui a la pointe de l'angle pour pole.

IX. Un Triangle, Spherique est un Triangle compris de trois arcs de trois grands Cercles qui s'entrecoupent dans la superficie de la Sphere.

X. Un angle droit Spherique, est un angle qui est mesuré par un quart de Cercle.

XI. Un angle obtus Spherique, est un angle qui est mesuré

quart

de Cercle. XII. Un angle aigu Spherique, est un angle qui

par plus d'un

Voici quelques Theorêmes princ.paux sur quo!

les démonstrations suivantes sont appuyées. Il seroit à propo pour qu'on les entendit bien , qu’on eût en lifant ceci une Sphere artificielle à la main , puisque vous en allez voir vous même la nécessité.

THE OR EM E I.

Les grands Cercles qui s'entrecoupent dans la fuperficie de la Sphere , s'entrecoupent en deux également.

Pour exemple de ceci, considerez la section de l'Eclyprique & l'Equateur qui s'entrecoupent en deux également à deux points cardinaux qui sont l'Orient & l'Occident.

THEOREME I I.

Si un grand Cercle passe par le pole d'un autre grand Cercle , il le coupent à angles droits , & au contraire s'il le coupe à angles droits , il passe par

Prenez pour exemple un Meridien qui coupe à angles droits l'un ou l'autre des Tropiques.

le pole.

THEOREME II 1.

L'arc d'un grand Cercle qui est mené du pole d'un autre grand Cercle , jusqu'à sa circonference, est un quart de Cercle qui le coupe , ou plutôt qui tombe & s'appuye sur lui à angles droits ; & au contraire un quart de grand Cercle qui tombe ou s'appuye sur un autre grand Cercle , eft mené du pole de ce Cercle julqu'à sa circonference.

Prenez pour exemple un arc de Cercle renfer

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