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Tera, fi vous voulez, partie d'un Meridien, qui étant continué, ira tomber en angles droits fur l'Equateur. Cet arc prolongé fera donc un quart de Cercle, puifque la diftance qui eft entre l'Equateur & un de fes poles, eft un quart de Cercle.

THEOREM E IV.

Si l'arc d'un grand Cercle paffe par le pole d'un autre grand Cercle, cet autre palle réciproquement par le pole du premier.

Si vous prenez pour exemple l'arc. d'un grand Cercle qui fera partie d'une des colures, il patfera par le pole de l'Equateur, & pareillement l'Equateur paffe par le pole de ce colure, qui eft un des points cardinaux.

THEOREME V.

Les côtez d'un angle Spherique étant prolongez jufqu'à ce qu'ils fe rencontrent, font des demi Cercles, l'angle qu'ils font en fe rencontrant eft égal à celui qu'ils faifoient auparavant.

Prenez pour exemple l'angle que fait l'Eclyptique avec l'Equateur, lorfque le Zodiaque eft obli

que à l'horison rationnel, fi l'on prend une partie de chacun de fes deux Cercles vers un des points où ils fe coupent, qui eft un des points cardinaux, on aura un angle Spherique, dont les côtez étant prolongez, iront fe rencontrer au point cardinal oppofé. Cela étant on aura deux demi Cercles, puifqu'ils vont d'un point cardinal à l'autre, & par confequent deux angles égaux, puifque leur mefure commune fe trouve fur le grand Cercle qui divife ces deux demi-ci en deux également.

celui fur lequel on mefure les degrez de distance de l'Eclyptique à l'Equateur.

THEOREME VI.

L'arc d'un grand Cercle tombant fur l'ate d'un autre grand Cercle, fait deux angles droits, ou deux angles égaux à deux droits.

Prenez encore pour exemple l'Equateur qui tombant fur un des colures, fait deux angles droits, le point angulaire étant un point cardinal, il fera deux angles droits, dis-je, puifque l'un de fes angles a pour mefure la diftance qu'il y a d'un des poles au point où il coupe le colure, qui eft un quart de Cercle; & pareillement l'autre angle aura pour mefure la diftance de ce même point à l'autre pole du monde qui eft auffi un quart de Cercle. De même quand l'Eclyptique eft oblique, il fait un angle droit & un angle obtus avec l'orifon rationnel, lefquels ont enfemble pour mesure un demi Cercle, qui eft la diftance d'un des poles du mon

de à l'autre.

THEOREME VII.

Si deux arcs de grands Cercles s'entrecoupent, ils font les angles oppofez au fommet égaux entr'eux. Ce qu'on dit des arcs de Cercles, fe peut dire des Cercles entiers; ainfi confiderez fur la Sphere l'Equateur & l'Eclyptique qui s'entrecoupans au pole de l'horifon rationnel qui eft un des points cardinaux, font des angles au fommet égaux, ce qui s'enrend de foi-même.

THEOREME VIII.

Si un Triangle Spherique eft ifocele, il a les angles fur la bafe égaux entr'eux, & au contraire s'il a les angles fur la base égaux entr'eux, il eft ifocele.

Ceci eft trop clair pour mériter une démonftration particuliere.

THEOREME IX.

Si de la pointe d'un Triangle Spherique comme pole, on décrit tant que l'on voudra des Cercles inégaux, les arcs de ces Cercles feront femblables.

Confiderez la Sphere celefte, où un des poles du monde étant pris pour le point angulaire d'un angle Spherique, dont les côtez peuvent être pris fur deux meridiens, qui s'entrecouperoient à ce même pole ; il est aifé de voir qu'un Tropique, & un Polaire peuvent être confiderez comme ayant été décrits du pole, & qu'ils font coupez par les deux parties des meridiens qui forment un angle, & que les arcs de ces Cercles qu'ils renferment font égaux,puifqu'ils renferment chacun un même nom bre de degrez.

THEOREME X.

Chacun des deux angles obliques d'un Triangle Sphe-
rique rectangle eft de même affection que fon
côté opposé.

J H

E dis premierement que fi le côté AC du Trian- Fig. gle Spherique ABC rectangle en A, eft moindre qu'un quart de Cercle, fon angle oppofé B cft

Fig 22.

Si l'on prolonge le côté AC jufqu'en D, en for te que AD foit un quart de Cercle, & que par les deux points B, D, on faffe paffer l'arc du grand Cercle BD, on connoîtra que puifque l'angle A eft droit, & AD un quart de Cercle, le point D eft le pole de l'arc AB, que par confequent l'angle ABDest droit. D'où il fuit que l'angle ABC eft aigu.

Je dis en fecond lieu que fi le côté AC du Triangle Spherique ABC rectangle en A, eft plus grand qu'un quart de Cercle, fon angle oppofé B eft

obtus.

Si l'on retranche du côté AC, le quart de Cercle AD, & que par les deux points B, D, on faffe paffer l'arc de grand Cercle BD, on connoîtra comme auparavant que le point D eft le pole de l'arc AB, & que l'angle ABD eft droit. D'où il fuit que l'angle ABC eft obtus.

Plan

che s.

Fig. 23.

Enfin je dis que fi le côté AC du même Triangle ABC eft un quart de Cercle, fon angle oppofe B fera droit, parce que dans ce cas le point C fera le pole de l'arc AB, & l'angle B fera par confequent droit.

THEOREME XI.

Si les deux côtez d'un Triangle Spherique rectangle,font chacun aigu, ou chacun obtus, l'hypotenuse fera moindre qu'un quart de Cercle; & fi l'un eft aigu & l'autre obtus, l'hypotenuse fera plus grande qu'un quart de Cercle.

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E dis premierement que fi chacun de deux côtez AC, BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, eft aigu, l'hypotenufe AC eft moindre qu'un quart de Cercle.

F, jufqu'à ce que les arcs AD, BF foint chacun un quart de Cercle, & faites paffer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle LEF, qui coupe ici l'hypotenufe AC prolongée au point E.

Parce que l'angle B eft droit, & que BF eft un quart de Cercle, le point F fera le pole de l'arc AB, & l'angle D fera auffi droit, & parce que AD eft auffi un quart de Cercle, le point A fera le pole de l'arc DE, & AE fera un quart de Cer- Plan cle, & l'hypotenufe AC fera par confequent moin- che 3. dre qu'un quart de Cercle.

Fig.30. Je dis pareillement que fi chacun des deux côtez AB, BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, eft obtus, l'hypotenufe AC eft moindre qu'un quart de Cercle.

Retranchez des deux côtez AB, BC les quarts de Cercle AD, BF, & faites paffer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle DFE, qui qui étant prolongé rencontre ici l'hypotenuse AČ, auffi prolongée au point E.

En lifant la démonftration précedente fur cette figure, on connoîtra comme auparavant, que l'arc AE eft un quart de Cercle, & que par confe quent l'hypotenuse AC eft moindre qu'un quart

de Cercle.

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Plan

Je dis en fecond lieu que fi le côté AB eft obtus & le côté BC aigu, du Triangle Spherique ABC che 3. rectangle en B, l'hypotenufe eft plus grande qu'un Fig.31. quart de Cercle.

Ayant retranché du côté AB, le quart de Cercle AD, & prolongé l'autre côté BC en F, en forte que BF foit un quart de Cercle, faites paffer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle DEF, qui coupent ici l'hypotenufe AČ, au point E. En lifant pareillement la démonftration précedente fur cette figure, on connoîtra comme aupa

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