Plan

che 3.

Fig 35.

ravant, que l'arc AE eft un quart de Cercle, & que par confequent l'hypotenufe AC eft plus grande qu'un quart de Cercle.

Il est évident que fi chacun des deux côtez AB, BC, étoit un quart de Cercle, l'hypotenufe AC feroit aufli un quart de Cercle, parce qu'en ce cas les trois angles du Triangle ABC feroient droits (par le Theor. 10.) & que chacun de ces angles feroit le pole de fon côté oppofé, & l'hypotenu fe AC par confequent un quart de Cercle.

COROLLAIRE Î.

Il fuit de ce Theorême que fi les deux angles obliques d'un Triangle Spherique font de même affection, l'hypotenufe fera moindre qu'un quart de Cercle, & plus grande s'ils font de differente affection. Parce que (par le Theor. 10.) ces angles font de même affection que leurs côtez oppolez.

COROLLAIRE II.

Il s'enfuit auffi que fi l'hypotenufe d'un Triangle Spherique rectangle eft moindre qu'un quart de Cercle, les deux côtez, ou bien les deux angles obliques,feront entr'eux de même affection, & de differente affection fi l'hypotenuse eft plus grande qu'un quart de Cercle. Parce que fi dans le premier cas les côtez étoient de differente affection, l'hypotenufe feroit plus grande qu'un quart de Cercle, comme il a été démontré, ce qui eft contraire à la fuppofition de ce premier cas; & que fi dans le fecond cas les deux côtez étoient de même affection, l'hypotenufe feroit moindre qu'un

ee qui eft contre la fuppofition de ce fecond case

COLLORAIRE III.

Il s'enfui encore que fi l'hypotenufe & un côté d'un Triangle Spherique rectangle font de même affection, l'autre côté ou bien fon angle oppofé fera aigu, & obtus s'ils font de differente affection. Parce que par (par le Coroll. 2. ) fi l'hypotenufe & un côté font chacun moindres qu'un quart de Cercle l'autre côté fera auffi moindre qu'un quart de Cercle; & plus grand fi l'hypotenuse & un côté font chacun plus grands qu'un quart de Cercle. Mais fil'hypotenufe & un côté font de differente affec tion, en forte que l'hypotenufe foit, par exem ple, plus grande qu'un quart de Cercle, & un côtế par confequent aigu, l'autre côté fera obtus : & pareillement fi l'hypotenufe eft moindre qu'un arc de Cercle, & un côté par confequent obtus, l'autre côté fera auffi obtus, parce que dans ce cas les deux côtez font de même affection (par le Co roll. 2.).

THEOREME XII.

Si deux angles d'un Triangle Spherique, font de même affiction, la perpendiculaire tirée du troisième angle fur fon côté oppofé, tombera au dedans du Triangle, & au dehors fi les deux mêmes angles font de diverfe affection.

E dis premierement que fi les deux angles A, PlanB, du Triangle Spherique ABC, font de même che 3. affection, par exemple chacun obtus, la perpendi- Fig.29. culaire CD tombera au dedans du Triangle, parce que fi elle tomboit au dehors, comme dans la

figure, cette perpendiculaire CD étant confideréd dans le Triangle rectangle ADC, eft (par le Theorême 10.) de même affection que fon angle oppofé A, que nous avons fuppofé obtus, & par confequent plus grande qu'un quart de Cercle, & qu'étant confiderée dans le Triangle rectangle Plan- BDC, dont l'angle B eft aigu, parce que l'angle the 3. ABC a été fuppofé obtus, elle eft moindre qu'un Fig.35 quart de Cercle, ce qui eft contradictoire, & l'on trouvera la même contradiction, en fuppofant que chacun des deux angles A, B, eft aigu. Donc &c,

Je dis en fecond lieu, que fi les deux angles A, B, du Triangle Spherique ABC, font de differente affection, comme fi l'angle A eft aigu, & l'angle B obtus, la perpendiculaire CD tombera au dehors du Triangle, parce que fi elle tomboit en dedans, comme dans cette figure, cette perpendiculaire CD étant confiderée dans le Triangle rectangle ADC, eft (par le Theor, 10.) de même affection que fon angle oppofé A, que nous avons. fuppofé aigu, & par confequent moindre qu'un quart de Cercle; & qu'étant confiderée dans le Triangle rectangle CDB, dont l'angle B a été fuppofé obtus, elle eft plus grande qu'un quart de Cercle, ce qui eft contradictoire, & la même contradiction arrivera en fuppofant l'angle A obtus, & l'angle B aigu. Donc &c.

THEOREME XIII.

Aux Triangles Spheriques rectangles, il y a même raifon de la Tangente de l'angle oppofe à la perpendiculaire, à la Tangente de cette perpendiculaire qu'il y a du rayon du Cercle au Sinus de la bafe.

Concevez

che

Oncevez que dans une Sphere dont le point A Planeft le centre, les grands Cercles OĜCM, 3. Fig.25. OIDM s'entrecoupent dans le diametre commun OAM, & qu'ils font l'angle 1OG; puis penfez que l'arc d'un autre grand Cercle GIN, paffe par le point N, qui eft le pole du Cercle OGCM; d'où il fuit que le plan de ce Cercle GIN, fera perpendiculaire au plan du Cercle OGCM, que l'arc GI fera perpendiculaire à l'arc OG,que l'angleIGOfera droit; & par confequent que le Triangle OGI ferat rectangle; aprés cela ayant pris l'arc Ol qui fou tient l'angle droit, pour l'hypotenufe de ce Triangle, l'arc OG pour la bafe, & l'arc GI pour la perpendiculaire; du pole O, & de l'intervale OC (que je fuppofe de 90. degrez.) Décrivez le Cer-t cle CDN, cela étant l'arc CD fera la mesure de l'angle IOG; puis dans le plan du Cercle ACN, à l'extremité du rayon AC, élevez la perpendiculaire CE, jufqu'à ce qu'elle rencontre le rayon AD prolongé; cette ligne CE fera la Tangente de l'arc CD, ou de l'angle IOG que cet arc mefure; de même dans le plan du Cercle AGN, à l'extrêmité du rayon AG, élevez la perpendiculaire GL, jufqu'à ce qu'elle rencontre le rayon AI prolongé ; cette ligne GL fera la Tangente de la perpendiculaire GI; enfin du point G, abaiffez la ligne GF perpendiculaire au rayon AO, cette ligne GF fera le Sinus de la bafe OG; cela ainfi pofé; je dis qu'il

y a même raifon de CE Tangente de l'angle IOG à GL, Tangente de la perpendiculaire GI, à laquelle il eft oppofé que du rayon du Cercle AC, GF Sinus de la bafe OG. Pour le prouver.

Du point F au point L, menez la ligne droite FL; puis confiderez que les deux lignes GE, GL, Fig. 5. étant dans les plans des Cercles ACN, AGN, & perpendiculaires aux deux lignes, ou rayons AC, AG, qui font les communes fections de ces deux plans, & d'un troifiéme AOGCM, auquel ils font perpendiculaires, c'eft une néceffité que les lignes GE, GL, foient perpendiculaires au plan du Cercle AOGCM; & par confequent qu'elles foient paralleles entre elles.

le

De plus, l'angle OAC, qui eft foutenu par quart de Cercle OC, étant droit; & l'angle OFG étant auffi droit, il s'enfuit que les lignes AC, GF font paralleles; & ainfi les lignes AC, CE, étant parelleles aux lignes GF, GL, le plan qui paffe par AC, CE, s'enfuit parallele au plan qui paffe par GF, GL; & ces deux plans étant coupez par un troifiéme, à fçavoir OIDM, les lignes de communes fections AE, FL, font auffi paralleles. Si bien que les trois côtez du Triangle rectiligne ACE, font paralleles aux trois côtez du Triangle rectiligne FGL, par confequent ces deux Triangles fontéquiangles; & partant il y a même raifon de GE à GL, que de AC, à GF. C. Q. F. D.

COROLLAIRE I.

Plan- Il fuit de là que fi dans un Triangle Spherique che rectangle, comme ABC, dans lequel l'angle B eft Fig.12. droit, on donne un des angles aigus, par exemple A, avec le côté oppofé BC, on trouvera l'arc AB.