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che ;.

Tavant, que l'arc AE est un quart de Cercle, &c

que par consequent l'hypotenuse AC est plus granPlan

de qu'un quart de Cercle.

Il est évident que si chacun des deux côtez AB
Fig 3s. BC , étoit un quart de Cercle , l'hypotenuse AC

feroit aussi un quart de Cercle, parce qu'en ce cas
les trois angles du Triangle ABC seroient droits
(

par le Theor. 10.) & que chacun de ces angles
feroit le pole de son côté opposé, & l'hypotenu-
fe AC

par consequent un quart de Cercle.

COROLLA IRE I.

Il fuit de ce Theorême que si les deux angles obliques d'un Triangle Spherique font de même affection, l'hypotenuse sera moindre qu'un quart de Cercle , & plus grande s'ils sont de differente affection. Parce que par le Theor. 10.) ces angles sont de même affection que leurs côtez opposez.

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COROLIAIRE II.

Il s'ensuit aussi que si l'hypotenuse d'un Triangle Spherique rectangle est moindre qu'un quart de Cercle, les deux côtez, ou bien les deux angles obliques , feront entr'eux de même affection, & de diferente affection fi l'hypotenuse eit plus grande qu'un quart de Cercle. Parce que fi dans le premier cas les côtez étoient de differente affection , l'hypotenuse seroit plus grande qu'un quart de Cercle, comme il a été démontré, ce qui est contraire à la supposition de ce premier cas ; & que fi dans le second cas les deux côrez étoient de mê. me affection, l'hypotenuse seroit moindre qu'un

ée qui est contre la supposition de ce fecond cas:

COLLORAIRE III.

Il s'ensuii encore que si l'hypotenuse & un côté d'un Triangle Spherique rectangle font de mêine affection, l'autre côté ou bien son angle opposé sera aigu, & obtus s'ils sont de differente affection. Parce que / par le Coroll. 2. ) si l'hypotenuse & un côté font chacun moindres qu'un quart de Cercle l'autre côté sera aussi moindre qu'un quart de Cercle ; & plus grand fi l'hypotenuse & un côté font chacun plus grands qu'un quart de Cercle.Mais fi l'hypotenuse & un côté sont de differente affeca tion, en sorte que l'hypotenuse foit , par exemple, plus grande qu'un quart de Cercle', & un cô. té par consequent aigu, l'autre côté fera obtus : & pareillement li l'hypotenuse eft moindre qu'un arc de Cercle, & un côté par consequent obrus, l'autre côté fera aussi obtus, parce que dans ce cas les deux côtez font de même affection ( par le co

roll. 2.).

THEOREME XII.

Si deux angles d'un Triangle Spherique ; font de

même affiłtion, la perpendiculaire tirée du troisienne angle sur son côté opposé, tombera au dedans du Triangle , & an dehors si les deux mêmes angles font de diverse affectiona E dis premierement que fi les deux angles A, Plan

du Triangle Spherique ABC, sont de même aie 3. affection , par exemple chacun obrus , la perpendi- Fig.-9. culaire CD tombera au dedans du Triangle, parce que si elle tomboit au dehors, comme dans la

E

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Fig.35.

figure , cette perpendiculaire CD étant considered dans le Triangle rectangle ADC, est par le Theorême 10. ) de même affection que son angle opposé A, que nous avons supposé obtus, & par con sequent plus grande qu'un quart de Cercle, &

qu'étant considerée dans le Triangle rectangle Plan- BDC, dont l'angle B est aigu, parce que l'angle che 3. APC a été supposé obtus , elle est moindre qu'un

quart de Cercle, ce qui est contradictoire, & l'on trouvera la mên e contradiction, en supposant que chacun des deux angles A, B, eft aigu. Donc &c,

Je dis en second lieu, que si les deux angles A, B, du Triangle Spherique ABC, sont de differente affection, comme si l'angle A est aigu, & l'angle B obtus, la perpendiculaire CD tombera au dehors du Triangle, parce que si elle tomboit en de dans, comme dans cette figure , cette perpendiculaire CD étant considerée dans le Triangle rectangle ADC , eft (par le Theor, 10.) de même aff ction que son angle opposé A, que nous avons supposé aigu, & par conlequent moindre qu'un quart de Cercle ; & qu'étant considerée dans le Triangle rectangle CDB , dont l'angle B a été supe posé obrus, elle est plus grande qu'un quart de Cercle, ce qui est contradictoire, & la même contradiction arrivera en supposant l'angle A obrus , & l'angle B aigu. Donc &c.

THEOREME XIII.

Aux Triangles Spheriques rectangles, il y a même

raison de la Tangente de l'angle opposé à la perpendiculaire, à la Tangente de cette perpendiculaire qu'il y a du rayon du Cercle an Sinus de la base.

C

che 3.

Fig. 25

Oncevez que dans une Sphere dont le point A Plan

est le centre, les grands Cercles OGCM, OIDM s'entrecoupent dans le diametre commun OAM, & qu'ils font l'angle 10G ; puis pensez que l'arc d'un autre grand Cercle GIN, passe par le point N , qui est le pole du Cercle OGCM; d'où il suit que le plan de ce Cercle GIN, sera

perpendiculaire au plan du Cercle OGCM, que l'arc GI sera perpendiculaire à l'arc OG,quel'angleIGOsera droit ; & par consequent que le Triangle O Gl fera! rectangle ; aprés cela ayant pris l'arc ol qui loutient l'angle droit , pour l'hypotenuse de ce Triangle, l'arc OG pour la base , & l'arc GI pour la perpendiculaire; du pole 0, & de l'intervale OC (que je suppose de 90. degrez.) Décrivez le Cercle CDN , cela étant l'arc CD sera la mesure de! l'angle 10G ; puis dans le plan du Cercle ACN, a l'extremité du rayon AC, élevez la perpendiculaire CE, jusqu'à ce qu'elle rencontre le rayon AD prolongé ; cette ligne CE sera la Tangente de l'arc CD, ou de l'angle 10G que cet arc mesure ; de même dans le plan du Cercle AGN, à l'extrêmité du rayon AG, élevez la perpendiculaire GL , jufqu'à ce qu'elle rencontre le rayon AI prolongé ; cette ligne GL sera la Tangente de la perpendiculaire GI; enfin du point G, abaissez la ligne GF, perpendiculaire au rayon AO, cette ligne GF sera le Sinus de la base OG ; cela ainsi posé ; je dis qu'il

y a même raison de CE Tangente de l'angle IOGà
GL,Tangente de la perpendiculaire' GI , à la-
quelle il est opposé que du rayon du Cercle AC,
à GF Sinus de la bafe og. Pour le

prouver,
Du point F au point L, menez la ligne droite

FL; puis considerez que les deux lignes GE , GL,
Fig.25. étant dans les plans des Cercles ACN, AGN,&

perpendiculaires aux deux lignes, ou rayons AC,
AG; qui sont les communes sections de ces deux
plans, & d'un troisiéme AOGCM, auquel ils sont
perpendiculaires, c'est une néceflité que les lignes
GE, GL , foient perpendiculaires au plan du Cer-
cle AOGCM; & par consequent qu'elles soient
paralleles entre elles.
De plus, l'angle OAC, qui est soutenu

par

le quart de Cercle OC, étant droit; & l'angle OFG étant ausli droit, il s'ensuit que les lignes AC, GF font paralleles ; & ainsi les lignes AC, CE, étant parelleles aux lignes GF, GL, le plan qui passe par AC, CE, s'ensuit parallele au plan qui passe par GF, GL; & ces deux plans étant coupez par un troisiéme, à sçavoir QIDM, les lignes de communes sections AE, FL , sont aussi paralleles. Si bien que les trois côrez du Triangle rectiligne ACE, sont paralleles aux trois côtez du Triangle rectiligne FGL , par consequent ces deux Triangles sont équiangles ; & partant il y a même raison de GE à GL , que de AC, À GF. C. Q. F. D.

COROLL AIRE 1.

Plan

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Il fuit de là que fi dans un Triangle Spherique the i; rectangle, comme ABC, dans lequel l'angle B eft

droit, on donne un des angles aigus , par exemple
A, avec le côté opposé BC, on trouvera l'arc AB.

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