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A, est à la Tangente de l'arc BC, ou de la

perpendiculaire à laquelle il est opposé ; ainsi le rayon du Cercle est au Sinus de l'arc AB, ou de la base. Or par le moyen des Tables, quand on a la valeur des Sinus & des Tangentes, on a la valeur des angles

& des arcs.

COROLLAIRE II.

Ou bien enfin , fi dans le même Triangle, on

Plandonne l'angle A , & le côté AB, on trouvera l'arc che 3. BC; car comme le rayon du Cercle est au Sinus de Fig. 32 l'arc AB, ou de la base ; ainsi la Tangente de l'angle A, est à la Tangente de l'arc BC, ou la perpendiculaire à laquelle il est opposé ; qui est ce que l'on cherche.

THEOREME XIV.

Aux Triangles Spheriques rectangles, il y a même

raison du Sinus' de l'angle opposé à la perpendichlaire , au Sinus de cette perpendicula re qu'il y a du rayon du Cercle an Sinus de l'hypotenuse.

Ans la figure précedente , concevez que la Plan

che 3

1

& qu'ainsi elle soit le Sinus de l'arc CD, & con- Fig.25. sequemment de l'angle 10G, qui est mesuré par cet' arc. De même concevez que la ligne IH loit perpendiculaire au rayon AG , & qu’ainsi foit le Sinus de l'arc, ou de la perpendiculaire Gl : enfin concevez que la ligne IP , foit perpendiculaire au rayon AO, & qu'ainsi elle soit le Sinus de l'hypotenuse Ol; cela ainsi posé , je dis qu'il y a meme raison de DB, Sinus de l'angle iOG, à IH

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gle est opposé, que du rayon du Cercle AD à IP,
Sinus de l'hypotenuse OI ; pour le prouver.

Du point P au point H, menez la ligne droite
PH.

Maintenant considerez que puisque la ligne DB
est dans le plan du Cercle ACN, & qu'elle est
perpendiculaire au rayon AC, qui est la commune
fection des plans ACN,& AOC qui s'entrecoupent
à angles droits, il s'ensuit que cette ligne DB est
perpendiculaire au plan AOC ; de même puisque la
ligne IH est dans le plan du Cercle AGN, & qu'el-
le eft perpendiculaire au rayon AG qui est la com-
mune section des plans AGN, & AOC, qui
s'entrecoupent aussi à angles droits ; il s'ensuit que
cette ligne IH, est aufli perpendiculaire au plan
AOC ; & partant que les lignes DB, & IH sont
paralleles entre elles ; d'ailleurs les lignes AD &
IP étant perpendiculaires à la même ligne AO ,
sont aussi paralleles entre elles ; d'où il suit que le
plan qui passe par les lignes AD, DB , eft paralle-
le à celui qui passe par les lignes IP, IH, & ces
deux plans étant coupez par un troisiéme, à sça-
voir AOC, les lignes de communes sections AC,
PH, sont aufli paralleles ; fi bien que les trois cô-
tez du Triangle rectiligne DBA sont paralleles aux
trois côtez du Triangle rectiligne IHP; par con-
fequent ces deux Triangles sont équiangles ; &
partant il y a même raison de DB á IH, que de
AD à IP. C. Q. F.D.

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REMARQUE.

Plan

Comme le rayon du Cercle est le Sinus d'un anche 3. gle droit, & que l'angle IGO est droit , il est éviFiy.is. dent (par la précedente. ) que comme le Sinus de

opposé; ainsi le Sinus de l'angle IGO, ou le rayon du Cercle, est au Sinus de l'arc Oi, qui lui est opposé. De plus si l'on avoit pris GI pour la base, & OG pour la perpendiculaire ; on auroit montré que le Sinus de l'angle OIG, est au Sinus de l'arc OG, qui lui eft opposé, comme le Sinus de l'angle IOG , ou le rayon du Cercle, est au Sinus de l'arc OI; & comme les raisons sont semblables à une même, font semblables entre elles, il s'ensuit que comme le Sinus de l'angle 10G, est au Sinus de l'arc GI, qui lui est opposé ; ainsi le Sinus de l'angle. OIG, est au Sinus de l'arc OG qui lui est opposé; & ainsi il est toûjours vrai de dire , qu'aux Triangles Spheriques rectangles, il y a même raison du Sinus d'un angle, au Sinus de l'arc qui lui est opposé, que du Sinus d'un autre angle , au Sin nus de l'arc qui lui est opposé.

COROLLAIRE I. .

Il suit de là, que fi dans un Triangle Spheric que rectangle, comme ABC, duquel l'angle Best droit, on donne l'angle A, & l'arc BC, on troue vera l'hypotenuse AČ ; car comme le Sinus de l'angle A, est au Sinus de l'arc BC qui lui est

oppore ; ainsi le Sinus de l'angle B, ou le rayon du Cercle, est au Sinus de l'arc AC qui lui est opporé, & que l'on cherche.

COROLLAIRE II.

Que fi dans le même Triangle ABC, on donne Fig 32 l'angle A, & l'hypotenuse AC, on trouvera l'arc BC; car comme le Sinus de l'angle B, ou le rayon du Cercle, est au Sinus de l'arc AC, qui lui est

de l'arc BC , qui lui est opposé & que l'on cherche:

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COROLLA I RI III.

Enfin, fi dans le même Triangle on donne l'hypotenuse AC, & l'un des côtez comme BC,' on trouvera l'angle A, qui lui est opposé, car comme le Sinus de l'arc AC, ou de l'hypotenuse, est au rayon du Cercle, ou au Sinus de l'angle B qui lui cft opposé, ainsi le Sinus de l'arc CB, est au Sinus de l'angle A qui lui est opposé, & que l'on cherche.

R E M A R Q U E.

De ces Corollaires & de ceux de la precedente, il est évident qu'aux Triangles Spheriques rectangles trois choses étant données (pourvû rourefois que ce ne soit pas simplement les trois angles ) l'on trouvera les trois autres.

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En tout Triangle Spherique, comme le Sinus d'un

angle eft au Sinus du côté qui lui est opposé, ainsi

le Sinus d'un autre angle est au Sinus du côté ques :: lui est opposé.

A verité de cette Proposition a-déja été dé

montrée, touchant les Triangles Spheriques rectangles ; & ainsi il ne s'agit plus ici que de ceux qui ne le font point, comme par exemple le Triangie ABC, où l'on va faire voir d'abord que comme le Sinus de l'angle A, est au Sinus du côté BC, qui lui est opposé ; ainfi le Sinus de l'angle B, eft au Sinus du cô é AC qui lui est opposé (& ensuite l'on

L

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Du sommet de l'angle C, abaissez la perpena diculaire CD sur le côté AB, ( prolongée s'il en eft besoin. ) Cela fait , considerez que puisque le Triangle ADC eft rectangle, il y a même raison du Sinus de l'angle A, au Sinus de l'arc CD, qu'il y a du Sinus de l'angle ADC, ou du rayon du Cer

Fig.270 cle , au Sinus de l'arc AC, & partant le rectangle & 28. compris du Sinus de l'angle A, & du Sinus de l'arc' AC, qui sont les deux extrêmes de quatre choses proportionnelles, est égal au rectangle compris du Sinus de l'arc CD, & du Sinus de l'angle ADC, ou du rayon du Cercle , qui sont les moyennes. De même puisque le Triangle BDC est rectangle, il y a même raison du Sinus de l'angle CBD (ou CBA qui est le même, ou qui est son complement à deux droits, & qui par conseqnent a un même Sinus ) au Sinus de l'arc CD, que du Sinus de l'angle BDC, ou du rayon du Cercle,au Sinus de l'arc BC; & partant le rectangle compris du Sinus de l'angle B, de quelque façon qu'on le prenne, & du Sinus de l'arc BC', qui sont les extrêmes; est égal au rectangle compris du Sinus de l'angle, BDC , ou ADC son égal, en un mot du rayon du Cercle , & du Sinus de l'arc CD, qui sont les moyennes. Or le rectangle compris du Sinus de l'angle A, & du Sinus de l'arc AC, a déja été démontré lui être égal; d'où il suit que le rectangle compris du Sinus de l'angle A, & du Sinus de l'arc AC, est égal au rectangle compris du Sinus de l'angle B , de quelque façon qu'on le prenne, & du Sinus de l'arc BC ; & partant ces deux rectangles ont leurs côtez reciproquement proportionnaux ; c'est-à-dire , qu'il y a même raison du Sinus de l'angle A, qui est un des côtez du premier rectangle, au Sinus du côté BC qui lui

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