y a du Sinus de l'angle B, qui eft encore un des cô tez du fecond rectangle, au Sinus du côté AC, qui lui eft oppofé, & qui eft un des côtez du premier; C. Q. F. d'abord D.

Maintenant pour achever la démonstration, & prouver le même à l'égard des Sinus des autres angles, & des autres côtez; il ne faut qu'abaiffer Fig.27. du fommet de l'angle A, la perpendiculaire AE, & 28. fur le côté BC, prolongé s'il en eft befoin; & fuivant le même raifonnement que l'on vient de faire, l'on montrera que comme le Sinus de l'angle B, de quelque façon que l'on le prenne, eft au Sinus du côté AC, qui lui eft oppofé; ainfi le Sinus de l'angle ACB, eft au Sinus du coté AB, qui lui eft oppofé. D'où il fuit enfin que comme le Sinus de l'angle A,eft au Sinus du coté BC qui lui eft oppofé, ainfi le Sinus de l'angle C, ou ACB eft au Sinus du côté AB qui lui eft oppofé,puifque ces deux raifons font femblables à une même, fçavoir à celle du Sinus de l'angle B, au Sinus du côté AC: fi bien qu'on peut dire generallement, qu'en qu'en tout Triangle Spherique, comme le Sinus d'un angle eft au Sinus du coté qui lui eft oppofé; ainfi le Sinus d'un autre angle eft au Sinus du côté qui lui eft oppofé. C. Q. F. D.

Fig.32.

COROLLAIRE I.

Si donc dans un Triangle Spherique, comme ABC, l'on donne les deux angles A & B, avec le coté AC, oppofé à l'un des deux angles donnez, l'on trouvera le côté CB oppofé à l'autre angle donné; car comme le Sinus de l'angle B, eft au Sinus de l'arc AC; ainfi le Sinus de l'angle A, eft

COROLLAIRE II.

Que fi dans un Triangle Spherique comme ABC, l'on donne les deux cotez AC, CB, avec l'angle B oppofé à l'un des deux cotez donnez, l'on trou- Fig.3 vera l'angle A oppofé à l'autre coté; car comme le Sinus de l'arc AC, eft au Sinus de l'angle B, ainfi le Sinus de l'arc CB eft au Sinus de l'angle A que l'on cherche,

REMARQUE.

Aprés ce qui a été démontré jusques ici, il eft Fig. 334 aifé de conclure qu'en tout Tiangle Spherique non rectangle, trois choses étant données ( pourvû toutefois que ce ne foit pas fimplement les trois cotez, ou les trois angles) l'on trouvera les trois autres; car pour cela il ne faut que réfoudre le Triangle donné en deux Triangles rectangles, par une perpendiculaire abaiffée de l'un de ces angles fur le côté qui lui eft oppofé, en forte que l'un des Triangles ait deux angles & un coté connus; & aprés cela par ce qui a été dit ci-devant des Triangles rectangles, l'on trouvera les trois chofes qui font in

connues.

Par exemple, fi dans le Triangle ABC, l'on Fig. 334 donne les deux angles A & B avec le côté AC op- & 34. pofé à l'un des deux angles donnez; pour trouver ce qui refte, à fçavoir l'angle C, & les deux cotez AB, BC, il faut premierement trouver le coté BC (par le 1. Coroll. de cette Propofition;) puis pour trouver le coté AB, il faudra de l'angle C, abaiffer la perpendiculaire CD fur le côté AB, & par le 2. Coroll. du 14. Theor. trouver l'arc

Fig. 33. & 34

Eig.26.

trouver les deux arcs AD, DB des deux Triangles rectangles ADC & DBC; & ajoûtant ces deux arcs ensemble ou aura le coté AB; aprés quoi l'on trouvera l'angle C, par le 2. Coroll. de ce Theor. qui eft tout ce qu'il falloit trouver.

Que fi dans le Triangle ABC, l'on donne les deux cotez AC, BC, avec l'angle B oppofé à l'un des deux cotez donnez, pour avoir le refte, on trouvera premierement l'angle A, par le 2. Coroll. de ce Theor. & enfuite l'on trouvera le coté AB, & l'angle C, en abaiffant, comme je viens de dire, la perpendiculaire CD, & opérant comme deffus

Enfin fi dans le Triangle ABC, l'on donne les deux cotez AC, BC, avec l'angle C qu'ils enferment,, pour trouver le refte, à fçavoir les deux angles A & B, avec le coté AB qui eft entre deux; il faut premierement abaiffer une perpendiculaire de l'un de ces angles, fur le côté qui lui eft opposé, comme eft ici AD; puis on trouvera cette perpendiculaire AD, par le 1.Coroll. de ce Theor. & enfuite l'arc CD, par le 1.Coroll. du 13.Theor. puis ôtant CD de CB, reftera DB. Enfuite dans le Triangle ADB, l'on trouvera l'angle B, par le 2. Coroll. du 13. Theor. & le coté AB, par le 1. Coroll. du 14. Theor. aprés quoi dans le Triangle ABC l'on trouvera l'angle A, par le 2. Coroll. de ce Theor. qui eft tout ce qu'il faloit trouver.

LEMME I.

Aux Cercles inégaux les Sinus verfes des arcs femblables , ont même raifon entr'eux que les rayons de leurs Cercles; par exemple aux deux arcs inégaux ABC, DEF, les Sinus verfes GC, HF, des arcs femblables BC, EF onc même rai

fon entr'eux que les rayons IC, LF; pour le prouver.

Des centres I & L, menez les deux lignes droi tes IB, LE; puis confiderez que les deux Triangles IBC, LEF, font ifocelles & femblables, à caufe que les angles BIC, ELF, qui s'appuyent fur des arcs femblables font égaux; & partant il y a même raifon de IB à LE, que de BC à EF; de plus les angles C & F étant égaux, comme l'on vient de montrer, & les angles G & H étant droits, les deux Triangles BGC, EHF font auffi Fig.26, femblables; & partant il y a auffi même raison de GC à HF, que BC à EF; d'où il fuit que la raifon des Sinus verfes GC, HF eft femblable à celle des rayons IB, LE, ou IC, LF, puifqu'elles font toutes deux femblables à une même, fçavoir à celle de BC à EF. C. Q. F. D.

LEMME I I.

Le rectangle contenu du Sinus droit de la moitié de l'aggrégé de deux arcs inégaux d'un Triangle Spherique rectangle, & du Sinus droit de la moitié de leur difference, eft égal au rectangle contenu du rayon du Cercle, & de la moitié de la difference de leurs Sinus verfes. Pour le prouver. Que les deux arcs inégaux foient par exemple AB, BC, leur aggrégé fera l'arc AC; puis faifant BD égal à AB, l'arc CD fera leur difference; enfuite ayant mené la foutendante AC, & du centre E abaiffez la perpendiculaire EH, le Sinus droit, de la moitié de l'aggregé fera AH. De plus ayant auffi mené la foutendante AD, & du centre E au point B, la ligne EB, cette ligne coupant l'arc ABD en deux également, coupera auffi en deux également la foutendante AD, & à angles droits;

Fig.24

& partant FB fera le Sinus verfe de l'arc AB; puis ayant encore abaiffé CG perpendiculaire fur EB, & CL perpendiculaire fur AD, la partie GB fera le Sinus verfe de l'arc BC;&FG ou fon égal CL,era la difference des deux Sinus verfes. Maintenant Fig.24. ayant meré la ligne droite CD, & la ligne HI parallele à AD, cette ligne HI, & fa partie HM étant parallele aux bafes des deux Triangles ACD & ACL, leurs cotez AC, CD, & AČ, CL feront coupez proportionnellement, & partant la raifon de AH à HC fera la même que de DI, à IC, ou de LM à MC. Or eft-il que AH est égale à HC. Donc DI fera auffi égale à IC, & LM, à MC; & partant IC fera le Sinus droit de la moitié de CD, different des deux arcs AB, BC; & MC moitié de CL, ou de fon égale FG, fera la moitié de la difference des Sinus verfes. Ce qu'il faut donc maintenant faire voir, eft que le rectangle compris de AH & de IC, eft égal au rectangle de EA & de MC. Pour le prouver.

Les deux angles AEH & ADC font égaux, puifque le premier qui eft au centre, s'appuye fur la moitié de l'arc, fur lequel s'appuye l'autre qui eft en la circonference; & puifque l'angle MIC eft auffi égal à l'angle ADC, à caufe que les lignes AD, Hi étant paralleles, la ligne CD tombe deffus; il s'enfuit que l'angle AEH eft égal à l'angle MIC. De plus les angles EHA & CMI étant droits, il s'enfuit que les deux Triangles HAE & MCI font femblables; c'eft pourquoi comme AH eft à EA, ainfi MC eft à IC; d'où il fuit que le rectangle contenu fous les extrêmes AH & IC eft égal au rectangle des moyennes EA & MC. C. Q. F. D.