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PROPOSITION I I.

THE O R E M E.

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Le quarré du Sinus droit d'un arc , avec le quarré du Sinus droit de son complement , sont égaux

au quarré du rayın.

Fig. 3•

A

U quart de Cercle BC, dont le rayon est

AD, soit DF Sinus de l'arc DC , & DE Sinus de son complement BD, je dis que les quar: rez de ces deux Sinus DF, DE sont égaux au quarré du rayon AD.

Car puisque BC est un quart de Cercle, CA est perpendiculaire à AB; mais DE est aussi perpendiculaire à AB , par la definition du Sinus ; donc DE & CA sont paralleles ; & par la même raison BA & DF sont aussi paralleles ; & partant FE est un parallelograme, dont le côté DE est égal à son opposé FA ; mais le quarré de AD est égal aux quarrez de DF & de FA, ou de son égal DE ; par consequent le quarré de DF, Sinus droit de l'arc DC, & le quarré de DE Sinus droit de fon complement DB , sont égaux au quarré du rayon AD. C. Q. F. D.

COROLL AIRE.

Il s'ensuit de la que le Sinus droit d'un arc étant donné, l'on aura le Simus droit de son complement au quart de Cercle ; car fi l'on ôte le quarré du Sinus donné, du quarré du rayon , il restera le quarré du Sinus de son complement, dont la racine quarrée sera le Sinus cherché.

58779. si l'on ôre son quarré qui est 3454970841. du quarré du rayon qui est icooo000000, il refera 6545029159. pour le quarré du Sinus de 54. deg. dont la racine quarrée est 80901; quand ce qui reste excede soooo. on ajoûte une unité dans les Tables ; c'est pourquoi l'on y trouve 80901, pour le Sinus de 54. deg.

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PROPOSITION III.

THEOREME.

1

La difference des Sinus des deux arcs également élosgnez de 6o. degrez , est égale an Sinns de la

moitié de la difference de ces deux arcs. E dis que si l'arc BD est de 60. degrez, & que Fig. 4 J

les deux deux arcs BC, BE en soient également eloignez, en sorte que l'arc ED, ou CD loit égal, soitla moitié de leur difference CE;la difference des Sinus EG, CI, des deux arcs BC, BE, est égale au Sinus EO , ou CO, de la moitié CD, ou DE de leur difference CE.

Si l'on tire du point C la ligne CH parallele au rayon AB, & au point F, où le rayon AD se trouve coupé par le Sinus EG , la droite CF, on connoîtra aisément que le triangle ECF est équilateral , & quela ligne EH, ou le Sinus EO , ou CO, est la difference des Sinus EG, CI. C. Q. F. D.

COROLLAIRL. I.

Il s'ensuit de là, premierement que si les Sinus de deux arcs également distans de la fixiéme partie du Cercle , sont donnez, l'on trouvera le Sinus de la difference de l'un de ces arcs à la fixiéme

Par exemple, soit donné le Sinus de 40. deg. à sçavoir 64278. & celui de 80. degrez , à sçavoir 98480. qui sont également distans de 60. deg. qui est la sixiéme partie du Cercle, l'on trouvera le Sinus de 20. deg. à sçavoir 34202. parce que la difference du Sinus de 40.deg. à celui de 80. étant égale au Sinus de 20. deg. il elt évident que si l'on soustrait le plus petit du plus grand, ce qui restera sera le Sinus cherché.

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Il s'ensuit encore que si le Sinus d'un arc moindre

que la fixiéme partie du Cercle est donnée , avec le Sinus de la difference de cet arc à la sixiéme partie du Cercle, on trouvera le Sinus d'un arc qui furpassera autant la fixiéme partie du Cercle, que l'autre en étoit surpaffé.

Ainsi le Sinus de so. deg. à sçavoir 76604. étant donné avec le Sinus de 1o. deg. å sçavoir 17364. difference de so. deg. à la fixiéme partie du Cercle, op trouvera le Sinus de 70. d. Car dautant que la difterence du Sipus de

so deg. à celui de 70. est égale au Sinus dero. deg. qui est le défaut de go.d. à la fixićme partie du Cercle, il est évident que fi au Sinus de so. deg. 76604, on ajoûte le Sinus de 10.deg. 17365, ce qui viendra , à sçavoir 93969, sera le Sinus de 70. deg. que l'on demande

COROLLAIRE III.

De même étant donné le Sinus de 70. deg. avec celui de 10. il est évident qu'en ôtant celui-ci de

PROPOSITION IV.

THEOREME.

avec Le Sinus verfe d’un arc , & le Sinus droit de son com.

plement, font égaux au rayon du Cerile.

Oit FG le Sinus verse de l'arc GE, & ED, le Fig. so S Sinus droid de ron complement EC ; je dis

que FG ,tou ED , sont égaux au rayon AG.

Car puisque DE est un parallelograme ED est égale à AF, à quoi ajoûtant FG vient le rayon AG.

COROLL AIRE.

Il s'ensuit de là que le rayon étant donné , & le Sinus droit du complement de quelque arc, le Sinus verse de cet arc sera connu ; car en ôtant du rayon le Sinus droit donné, restera le Sinus verfe cherché.

Ou bien le Sinus verse d'un arc étant donné avec

rayon , le Sinus droit de son complement sera connu ; car en ôtant du rayon le Sinus verse donné, restera le Sinus droit cherché.

le

PROPOSITION V.

THEORE ME.

Les Quarrez des Sinus droit op verse d'un arc fone
égaux au quarré de la fontendante du même arc.

E l'arc CE le Sinus droit soit CF, & FE le Fig. 6.
Sinus verse; dis

que

leurs

Pour le prouver. Le triangle CFE étant rectangle; il est évident que les quarrez de CF & de FE, sontégaux au quarré de CE.

COROLLAIRE.

Les Sinus droit & verse d'un arc étant donc don-
nez, on connoîtra la foutendante de cet arc, &.

le Sinus droit de fa moitié.
Fig. 6.
Soit par exemple, EF. 6. & CF. 8. leurs

quar-
rez 36. & 64. étant ajoûtez font 100. pour le

quarré de CE, dont la racine quarrée est 10. qui est ce que vaut la soutendante cherchée; & s. est la yaleur du Sinus droit du demi arc.

PROPOSITION VI.

THEOREME.

Au quart de Cercle, le Sinus droit d'un arc eft moyen
proportionnel entre la moitié du

rayon
le Sinus verse d'un arc double.

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Fig. 7.

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Oir par exemple EC, double de l'arc ED ; je

EH Sinus droit de ED, eft moyen proportionnel entre la moitié du rayon AG & EF Sinus verse de l'arc double EC; c'est--dire que comme la moitié du rayon AG est à EH, ainsi EH est à EF.

Pour le prouver. Aux deux triangles AHE, CFE, l'angle AHE étant droit , & partant égal à CFE, & l'angle au point E étant commun ; il s'ensuit que ces deux triangles font équiangles , & qu'ils ont les côtez au tour de l'angle commun E proportionnaux (par

la

du 6.) c'est-à-dire que

4.

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