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THEOREME XVI.

Aux Triangles Spheriques , qui ont les côtez d l'en

tour de l'angle du sommet inégaux, ces quatre choses sont proportionnelles. La premiere , le restangle compris des Sinus droits de ces côtez inégaux. La seconde, le quarré du rayon. La troifiéme, le rectangle dont l'un des côtez est le Sisus de la moja tié de l'aggregé de la base de l'excez de l'un de ces côtez par dessus l'au!re, o l'autre côté est le Sinus de la moitié de la difference de la base et de tet excez. Et le quatriéme, le quarré du Sinus de la moitié de l'angle dit sommer, ou de la moitié de

l'angle opposé à la base, qui est la même chose. С

Oncevez que DRT est un grand Cercle d'u- Fig.36,

ne Sphere dont E est le centre. Concevez aufli que du Triangle QRB, RB est l'un des côtez inégaux à l'entour de l'angle du sommet R, dont l'autre côté QR, & la base QB font supposez élevez en l'air, & avoir pour projections ortogram phiques QR & QB ; & ainlî la projection ortographique de l'angle du sommet fera QRB. Puis ayant mené du centre E les deux lignes droites ER, EB, G par le point Q, l’on mene à chacune de ces Fig.36. lignes une perpendiculaire, à sçavoir NC à ER,& AD à EB, la ligne NC sera le diametre d'un

pes tit Cercle, dont la circonference passera par ce point du Triangle , dont Q est la projection , & qui aura pour pole le point R ; d'où il luit que les arcs RN&RC qui sont égaux entr'eux, sont aussi égaux à ce côté du Triangle proposé, lequel côté est ici representé par QR ; & partant OC sera le Sinus droit de ce meme côé, & PB perpendiculaire à ER, sera le Sinus droit de l'autre côté RB, & BC sera

l'excez d'un des côtez par dessus l'autre, dont le Sinus droit sera CG perpendiculaire à EB. De même AD sera le diametre d'un autre petit Cercle,dont le poleest B, & dont la circonference passera aulli par ce point qui est representé par Q.D'où il suit que les arcs égaux BA & BD sont aufli égaux à cette base du Triangle proposé, laquelle est ici representée par Q3; & partant l'arc ABC eft l'aggregé de la bafe & de l'excez d'un des côtez

par

dessus l'autre; de la moitié duquel aggregé le Sinus droit eft HC, moitié de AC; & l'arc CD fera la difference de

la base & de cet excez, dont la soutendante eft Fig.36. CID. Ensuite de quoi ayant mené HI parallele à

AD, il s'ensuit que comme AH, est à HC, ainfi DI est à IC ; & dautant que AH est égale à HC, il s'ensuit aufli que DI est égale à IC: & partant que IC est le Sinus droit de la moitié de la difference de la base, & de l'excez de l'un des côtez par desLus l'autre. De plus ayant continué la projection QR, jusqu'à celle d'un grand Cercle , dont Rest le pole, & dont le diametre & la projection tout enfemble, est YEZ; & au point S où la rencontre se fait, ayant élevé la perpendiculaire ST , il s'enfuit que l'arcȚZ sera la mesure de l'angle du sommet de nôtre Triangle proposé QRB. Puis ayant Inené la ligne droite TZ, & du centre E abaissé la perpendiculaire EV, sa moitié VZ sera le Sinus droit de la moitié de l'angle du sommet R, duquel angle tout entier le Sinus verse sera zs, dans un grand Cercle dont EZ est le rayon ; & CQ fera dans un petit Cercle dont OC est le rayon.

Cela posé, il faut maintenant faire voir que comme le rectangle compris de PB & de OC, Sinus droits des deux côtez inégaux RB, QR est au quarré du rayon EZ ou EB ; ainsi le rectangle

le Sinus de la moitié de l'aggregé de la bate , & de l'excez d'un des côtez par deffus l'autre , & l'autre est le Sinus de la moitié de la difference de la base & de cer exez ) eft au quarré de VZ, Sinus droit de la moitié de l'angle du sommet, ou de l'angle opposé à la base, qui est la même chose. Pour le prouver..

Abaissez premierement fur EZ la perpendiculaire VX, cette ligne coupera ZS en deux également , à cause que VX'étant parallele å TS, SX sera égale à XZ , comme TV, l'eft à vz, ainsi qu'il a été démontré ci-devant ; abaissez auffi fur AD la perpendiculaire CL , cette ligne fera coupée en deux également au point M, à caufe que MI étant parallele à LD, base du Triangle CLD; LM sera égale à MC, comme DI ,l'eft à IC. Aina qu'il a aussi été démontré.

Cette préparation encore supposée, confiderez maintenant que le Triangle BPE eft semblable au Triangle OKE; que celui-ci est femblable au Triangle FKQ; & que ce dernier est encore femblable au Triangle LCQ; d'où s'enfuit du premier au dernier, que le Triangle PBE est semblable au Triangle LCQ; & partant qu'il y a mêine raison de PB à BE, que de LCà CQ. Et dautant que CO & ZS font les Sinus verses des deux arcs femblables de deux Cercles inégaux, il s'ensuit (par le 1. Coroll. de la précedente ) que CQ & ZS font Lig 36 entr'eux en même raison que les rayons de leurs Cercles OC & EZ,

Cela ainsi posé, concevez maintenant ces quatre rectangles, dont le premier soit compris des deux Sinus droits PB, OC; le fecond des deux rayons EB, EZ , c'eft-à-dire, dont le second soit le qaarré du rayon ; le troisiéme soit compris des deux lignes LC, CQ;& le quatriéme des deux Sinus ver

ses CQ, ZS, maintenant, comme les rectangles font entr'eux en raison composée de celle de leurs côtez, c'est-à-dire, comme ils sont entr'eux comme le produit de leurs côrez; & que la raison du produit des cô ez du premier rectangle, au produit de ceux du second, a été démontrée être la même

que celle du côté des produits du troisiéme, au produit des côtez du quatriéme, il s'ensuit que ces quatre rectangles sont proportionnaux ; & partant qu'il y a même raison du rectangle compris de PB, OC, au quarré du rayon EB, & que du rectangle compris de LC, CQ, au rectangle compris de CQ, ZS. Mais ces deux derniers rectangles ayant ce pour commune hauteur, ils sont entr'eux comme leurs bases LC, ZS; ou comme leurs moitiez MC, XZ; & partant la raison du

rectangle compris de PB , OC, au quarré du rayon Fig.3 6. EB, est la même que celle de MC à XZ. Mais com

me MC est à XZ, ainsi le rectangle de EZ, MC, est au rectangle de EZ , XZ, à cause qu'ils ont tous deux la même fauteur EZ, d'où s'enfuit encore une fois que le rectangle de PB , OC, eft au quarré du rayo: EB, comme le rectangle de EZ, MC, est au rectangle de Ez, XZ, ou ( à cause que VZ est moyenne proportionnelle entre EZ & XZ) au quarré de VZ. Que si au lieu du troisiéme rectangle compris de EZ ,MC, on prend le rectangle de HC, IC qui lui est égal ( par le 2, Lemme de la précedente ) (à cause que HiC est le Sinus droit de la moitié de l'aggregé des deux arcs inégaux AB, BC, & IC le Sinus droit de la moitié de leur difference; & que MC est la moitié de CL, ou de son égale GF qui est la difference des Sinus verses des deux arcs inégaux AB, BC, & Ez le rayon ,) il sera vrai de dire que comme

EZ, ou EB; ainsi le rectangle de HC, IC, et au quarré de Vz. C. Q. F. D.

COROLLAIR E.

Il suit de là, que d'un Triangle Spherique , dont les côtez sont inégaux, les trois côtez étant connus, on connoîtra les trois angles ; car pour cela , il ne faut que faire une regle de Trois , dont le premier terme soit le rectangle, ou le produit des Sinus des deux côtez tels que l'on voudra ; le second soit le quarré du rayon ; le troisiéme soit le rectangle, ou le produit de deux autres Sinus , sçavoir du Sinus d'un arc qui sera la moitié de l'aggregé de la bafe, & de l'excez de l'un de ces côtez par dessus l'autre, & du Sinus d'un autre arc qui sera la moitié de la difference de la base & de cet excez ; aprés quoi il suit de cette Proposition, que le quatrieme terme sera le quarré du Sinus de la moitié de l'angle opposé à la base. Si donc on extrait la racine quarrée du quatriéme terme, on aura le Sinus d'un angle, dont le double sera la valeur de l'angle que l'on cherche , ensuite de quoi il sera aisé de trouver les deux autres angles par

le rollaires de la précedente.

Remarquez que si l'on veut fe fervir des Tables des Logarithmes ; il faudra seulement ajoûter à une fomme le double du Logarithme du rayon, celui du Sinus de la moitié de l'aggregé de la base & de l'excez de l'un des côrez

par

deflus l'autre & le Logarithme du Sinus de la moitié de la difference de la base & de cet excez ; puis de cette fome mes ôter les Logarithmes des Sinus des deux côtez ; & enfin prendre la moitié du reste ; laquelle moitié sera le Logarithme du Sinus de la moitié de l'angle opposé à la base. Et ainä on épargnera plus

moyen des Com

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