& ayant trouvé la racine de la nouvelle quantité que devient A+B par cette multiplication, on n'aura qu'à la diviser par la racine cube du nombre dont on s'eft fervi pour multiplier AB, & le quotient fera la racine cherchée. XXXV I. 3 a xemple. Suppofons , pour montrer l'application de Application cette méthode, qu'on cherche la racine cube de la méthode 7+5V 2. Ayant fait 4-7, B-5V 2, je te à un ede précéden trouve que nou A2 BI. Je remarque enfuite que la valeur de √ A+B OU de V7+5V2 eft plus proche de 2 que de 3, ainfi je prends 2 pour l'exprimer; remarquant de même que celle de you de 3. 3 3 √7. 3 j'ai par ce moyen p ou VA+B+VA-B I Je fubftitue alors cette valeur de P dans q = √pp —n, & j'ai q=√ 2, d'où je conclus que fi la quantité propofée 7+5√2 a une racine cube, elle eft 1+V2, en effet cubant 1+2 il vient 7+5 V2. - XXXVII. Suppofons préfentement qu'on eut à pren- Autre dre la racine cube de 5-+3V3; on trouve exemple. roit alors AA BB fi nombre entier le plus proche. Je fubftitue donc clus que 3/2 X X X VIII. par Simplication On fimplifiera le calcul d'approximation de précéden- lequel on détermine p, en remarquant qu'au de la métho te. 3 lieu de VA+B+άA—ß, on peut écrire 3 —√ A — B× √ A+ B. Or cette expreffion 3 eft en effet plus fimple que VATB +VA-B 2 parce qu'il eft plus aifé de divifer par v A+B le nombre n, qui eft supposé déja trouvé, que de calculer féparement VA-B. XXXIX. le méthode. Pour montrer l'usage de cette nouvelle for- Application mule; appliquons - là à l'exemple de l'article de la nouvel XXXVI. ou étoit =7, & B5√ 2 ; après avoir trouvé de même que dans cet article que 3 ?= 1 & qne √A+B en nombres entiers les plus proches étoit 2, au lieu de chercher comme dans le même article la racine cube approchée de 7-5V2, je divise n ou -I 3 par la valeur 2 de VA+B ce qui me donne que je fubftitue dans la formule précédente I nant le nombre entier le plus proche) pour la valeur de P ainfi qu'on l'avoit trouvé dans cet 3 article par la formule VA+B + √A—B le refte s'acheveroit de même. velle mé tive dans les X L. Cette nou- Il eft à remarquer cependant que cette nouthode pour- velle formule pourroit induire en erreur fi A roit être fau- & B n'étoient pas de même figne, car dans ca où A & B les cas où ces quantités feroient des fignes différens, la vraye valeur de √ A+ pourroit être fi petite auprès de n, que le nombre entier le plus proche qu'on prend à la place de font de fi gnes diffé rens. cette valeur donneroit pour 3 3 VA+B+ 3 VA+B un nombre qui différoit du vrai d'une ou de plufieurs unités. Qu'on eut, par exemple, à prendre la racine cube de 45-2912 en faifant A45 & B= 292, on auroit I pour le nombre entier le plus proche de... Ce qu'il faut faire en ce cas. égal à 4, quoi qu'il ne fût réellement que 3, ainfi qu'on peut voir par l'expreffion Mais pourvû que cette nouvelle méthode d'avoir P foit d'un usage fûr toutes les fois que A & B font de même figne, il importe peu qu'elle s'applique aux cas où ces quantités font de fignes différens. Car on voit bien que dans ces cas on n'a qu'à commencer par fuppofer A & B tous deux pofitifs, & en prendre la racine p+q. Enfuite faire p du même figne que A, & q du même figne que B. Il ne s'agit donc plus que de s'affurer fi toutes les fois que A & B font de même figne, ou ce qui revient au même fi A & B étant tous deux pofitifs, on peut, fans craindre d'erreur, fubfti VA+B le nombre entier le plus proche. Pour nous en convaincre, commençons par suppofer, ce qui ne peut jamais aller fi loin, qu'on fe trompât de en prenant pour VA+B le nombre entier le plus proche. Dans ce cas la quan tité qu'on trouveroit au lieu de P feroit.. 3 VA+B++ n 3 √ A+B+ 2 Pour faire voir que cette expreffion ne fçauroit donner un nombre qui differe d'une unité de la vraye valeur de P mettons dans cette quantité p+q 3 au lieu de √ AB, & pp-qq au lieu de n, elle deviendra pq+ PP-99 de laquelle I |