3 devient V-15+√ 217−√ 15+V 217 qui 3 3 9=√15+√217 —√15+√217 — 1, pour la feule racine réelle de l'Equation propolée 33-31+25=0. XVII. ple conte fixiéme dé fiéme. Si on avoit une Equation du fixiéme dé- Autre exem gré, où l'inconnue ne fe trouvât à aucune nant une Edimenfion impaire il est évident qu'on la quation du réfoudroit par la même méthode que la pré- gré qui fe récédente, puifque cette Equation fe réduiroit duit au troitout de fuite au troifiéme dégré par une transformation; qu'on eut, par exemple z6+92* +3922+55=0, en regardant zz comme l'inconnue de cette Equation, & fuppofant, fuivant les principes (précédens zz égal à une nouvelle inconnue x moins le tiers du coefficient du fecond terme, c'eft-à-dire zz-x-3, on changera cette Equation en x3+12x—8 qui n'eft que du troifiéme dégré & qui a point même de fecond terme. Comparant alors cette Equation avec x3 + px =q=0, on a p12, q= 8, & partant VP+9gV80 d'où x ou... 3 3 √ 4+v 80-√ √ 80 —4, & comme, par la fuppofition zzx-3 ou zvx-3 on 3 x— ±√ √4+v80 √ √ 80—4—3 & les deux valeurs que cette expreffion donne en prenant le radical en → & en font les feules réelles des fix que doit avoir l'Equation propofée. En général qu'on ait une Equation telle Equations plus élevées qui s'y réduiroient aufli. que z 3m az +obz +c=o on la réduira tout de fuite à une du troifiéme dégré & m fans fecond terme en faifant z =x—ļa. XVIII. Suppofons préfentement qu'on ait l'Equation 340 à réfoudre, cette Equation n'ayant point de fecond terme, on peut tout de fuite la comparer à x-px-+q=0, & l'on a par cette comparaifon p=3&q=—4 & comme P eft pofitif, on voit par l'article XIV. que la formule générale de l'article doit encore réuffir dans ce cas; fubftituant en effet ces valeurs de p & de q dans cette formule générale 3 I 3 I 3 I √ ~ {q + √ √ = p3 + gq —√ {q+V 2 = p3 + 4 qq on a pour la feule. valeur réelle de x 2+V5−√—2+ √ 5. Si l'on applique préfentement à cette expreffion la méthode de la quatriéme Partie, art. xxxv, XXXVIII & XLI. on verta qu'elle fe peut aisément réduire, parce que2+5 eft le cube de +5,& que —2 +vs eft celui de + 5. D'où cette valeur de x fe réduit à 1. On auroit pû parvenir à cette même valeur de x fans la formule précédente en employant la regle de la troifiéme Partie, article XII & XIII. car on auroit trouvé que X étoit un diviseur exact de la quantité x3-3x 4. XIX. x3 I exemple l'art. vI. la formule eft infuffifante. Soit maintenant propofé de réfoudre l'E- Quatrième quation x3-90x-980. En comparant dans lequel cette Equation à l'Equation générale x+px de +9=0 on a p=90&q=98; or p étant négatif & tel que p3 eft plus grand que qq l'Equation propofée eft de celles qui ne peuvent pas le réfoudre par la formule précédente. Je cherche alors par la méthode de la troifiéme Partie, art.x11 &x111 fi elle n'aura pas quelque divifeur, & ayant reconnu qu'elle a point, je me fers de la méthode en e article x. pour trouver une valeur approchée. Pour cela, je commence par fubftituer pourp Application &q leurs valeurs-90 &-98 dans la formules de la métho générale 3 de de l'article x pour approcher des racines. **√49+√=24599—V-49+V-24599 qui étant comparé a l'expreflion,.. V-a+bv ——√ a+bv-1, laquelle étoit devenue ( article x.) la fuite infinie 24 363 24364 656166-&c. donne a= -49, b! =+24599, qu'il ne s'agit plus que de fubftituer dans cette fuite infinie. Pour faire cette fubftitution, je commence par prendre la racine cube de 24599 afin d'avoir b3, l'opération faite, j'ai environ 29, 08 pour cette racine cube, & partant aa j'ai pour environ 0, 0976, dont le quarré bb 0,00952 eft la valeur de quant à la valeur de “a, & des puissances plus élevées 2 elle eft inutile dans cette fuite dont la ma che eft affez prompte. Faifant alors les fubftitutions des valeurs de à la place de ces quantités, j'ai environ I, 104 pour la valeur de donnée par la formule de l'article vi, fi on veut avoir 2 les deux autres valeurs de x qui doivent aussi être réelles, fuivant l'article xiv. il n'y a qu'à divifer l'Equation x390x-980 par x+1, 104 qui eft à très peu de chofe près, fuivant ce que l'on vient de voir, une de fes racines. La divifion faite, on a pour quotient xx — 1, 104x88, 781, & pour refe 0,0142 quantité affez petite pour être négligée, de forte qu'on peut regarder l'Equation XX 1,104x-88,781=0,comme le quotient exact de la divifion de x3-90x-98=0 par x+1, 104, & comme le produit des deux racines cherchées. Réfolvant donc cette Equation on a pour les deux valeurs de x qu'elle donne x=0, 552 ±√ 89, 0857, c'est-a-dire +9,990 & -8, 886. Ainfi les trois valeurs de x dans l'Equation propofée x3-90x-98-0 font à peu près 1,104; +9, 990; -8,886. Quant aux valeurs exactés aucunes des méthodes connues jufqu'à préfent ne fçauroient les faire trouver, & toute Equation qui ayant, comme la précédente, fes coefficiens rationels n'aura aucun divifeur rationel, lera de même irréfoluble par ces méthodes lorfque p3 fera négatif & plus grand que 499. XX. nient del'ap La méthode que nous venons d'employer Inconvepour retoudre par approximation les Equa- proximation tions du troifiéme dégré dont les trois racines enfeignée, font réelles, a cet inconvenient que lorsque a differe peu de b, les termes de la férie qui article x. |