dire ou3 oui,&pour les deux racines imaginaires 2+V 4-2-13 ou z2 V-12. Subftituant enfuite ces quatre valeurs dans 24, on aura pour les quatre racines de l'Equation propofée y* +16ỷ 3 +99y2+228y+144=0;y= = - -3; 1= -- 6+V12. On auroit pû trouver ces racines tant par la méthode de la troifiéme Part. art. X1I & XI 11. que par celle de l'art. XXIV. de la même Partie en les cherchant dans l'Equation + 16399y3 +228 y 1440.Car par la premiere de ces méthodes on auroit trouvé les divifeurs fimples y++1; +3, & pour quotient y+12+48, & la feconde auroit donné les deux divifeurs de deux dimensions yy+4y+3,&yy+12y+48; on auroit encore pû trouver ces racines bien facilement en cherchant les divifeurs de la réduite par le moyen de la méthode des art. XII & xuí de la troifiéme Partie, & en ajoutant à cette méthode l'attention de ne choifir parmi les divifeurs du nombre 2704 que des nombres quarrés, & de ne les employer qu'avec le figne On auroit trouvé alors que cette réduite a pour divifeur de cette efpece xx—16—0 qui donne x=4• — x: XLI. Soit l'Equation 2+1122-22+56=0 en la comparant à z*+pz2+qz+ro il vient p11, q—2, r=56. D'où la ré duite eft x+22x1. vient - 103x2—4—0 qui deu3-3u415820, après avoir u+ 27 fait évanouir le fecond terme. Cette Equation étant de celles qui échappent à la formule de l'article vi. l'Equation proposée doit être ou de celles qui ont leurs quatre racines réelles, ou de celles qui les ont toutes quatre imaginaires; mais à caufe du terme pofitif 1122, il faut (article xxx111.) qu'il y ait des racines imaginaires, donc toutes les quatre racines le font. Je parviens ensuite à réduire ces quatre racines imaginaires à de fimples racines imaginaires du fecond dégré en cherchant par la méthode des articles XII & XIII. de la troifiéme Partie, les divifeurs de la réduite car trouvant xx- 4 pour diviseur de cette réduite, je vois auffi-tôt que les quatre racines de l'Equation propofée font =+1±√—6 Soit maintenant l'Equation z-522-+-42 290 qui donne par fa comparaison avec 2*+pz2+qz+r=0; p=−5; 9=4; r—29, & par conféquent la réduite x -10x+91x 10622 3 fe 16-0, laquelle en faifant xu+10 se changera en u3 — 3732 μ — =0. Or comme cette Equation eft de celles que la formule de l'art. vi ne sçauroit réfoudre, c'està dire de celles qui ont leurs trois racines réelles, il s'enfuit que les racines cherchées de l'Equation <+-522+4+29=0 font ou toutes quatre réelles ou toutes quatre imaginaires. Et fi on fe rappelle qu'on a vû article xxx11. que lorfque les racines font toutes réelles, la réduite a le fecond terme négatif, le troifiéme pofitif, &c. on en conclura que la propofée eft dans le cas d'avoir toutes les racines imaginaires à caufe que le troifiéme terme -91x de fa réduite eft négatif. on ne Mais par aucune méthode connue fçauroit parvenir ainfi que dans l'exemple précédent à donner à ces quatre racines imaginaires, la forme ordinaire des racines imaginaires du fecond dégré, parce que la réduite n'ayant aucun divifeur commenfurable, la propofée ne fçauroit avoir ni des divifeurs commenfurables, ni des divifeurs affectés de fimples radicaux du second dégré. XLIII. Soit l'Equation 24-3222-162—2—0. Sixiéme qui donne p-32, q——16, r--2, & exemple. par conféquent la réduite x+1032x2-256=0. 64x4 Cette réduite ayant, comme on peut aifément s'en affurer, les trois racines réelles fait voir que la propofée doit avoir toutes fes racines réelles ou toutes imaginaires; on s'affurera facilement que c'eft le premier de ces deux cas qui a lieu en ayant recours à l'article XXXII. Je cherche maintenant par la méthode des art. XII & XIII. de la troifiéme Partie les divifeurs de cette réduite, & je trouve Septiéme xx-323 qui au moyen de l'expreffion géné– rale z=±±√ — — xx― p + donne 2x 2√ 2+√ 8+√ 2, 2√ 2−√ 8+√ 2, —2√2+√8—√ 2, — 2√ 2—√ 8—√ 2. 2 XLIV. Soit préfentement l'Equation z1—18z? exemple,++700 qui donne la réduite x-36x* +44x2-10 ou u3-388-2929=0; en faifant évanouir le fecond terme par le moyen de la transformée x2=u+12. Or comme cette Equation a fes trois racines réelles, & que le fecond terme 36x* eft négatif, tandis que le troifiéme 44x eft pofitif, il s'enfuit par l'article xxx11. que la propofée a fes quatre racines réelles ; de plus la réduite n'ayant aucun diviseur commenfurable, ainfi qu'on peut s'en affurer par la méthode des art. xII & XIII,de la troifiéme Partie, il faut fe contenter de trouver par approximation les racines cherchées, u3 Pour cela, on commencera par employer la méthode de l'article xxI. à la réfolution de l'Equation u3 388 u-2929=0, & ayant trouvé 22,74 pour la valeur de u, on fubftituera cette valeur dans x=√u+ 12, ce qui donnera 5, 894 pour x, & en fubftituant cette valeur de x dans · pour les XLV. Après avoir vû dans les réfolutions des Equations, tant du fecond que du troifiéme & du quatriéme dégré, comment à l'aide des fignes radicaux, on parvient à exprimer la valeur de l'inconnue dans ces Equations, il peut venir dans l'esprit de chercher comment on retrouveroit les Equations dont on connoît les racines par une expreffion radicale, on peut fe proposer, par exemple, de fçavoir quelle eft l'Equation dont la racine feroit x=√ ab3 +√a2b+Va2c; celle dans laquelle x feroit √a3 +b3 3 3 3 - √ a3 —b3 &c. 4 Pour réfoudre tous les Problêmes de ce genre ou ce qui revient au même pour faire évanouir les radicaux d'une Equation quelconque, on s'y prendra de la maniere fuivante qui étoit bien aifée à imaginer après ce qui a été enfeigné dans la deuxième Partie, article xxxv. On mettra à la place de chaque radical Maniere de |