foudre le mé fans paffer le divifeur p q en haut, & le divifeur pq en bas fuivant les regles des divifions des fractions, devient enfin.. pour -2gn + sp2 qn + 3pq2 n LXVIII. Autre ma- ᏚᎥ réfoudre les Equations propofées niere de ré- dans cet exemple, on avoit commencé par me exemple, delivrer de fractions ces Equations le calcul qu'on auroit fait de la maniere fuivante auroit donné moins d'embarras de la part des divifeurs. Soient multipliés d'abord les deux membres de l'Equation РРУ p+q ou 3mpx PPy p-q 3 mp x par ppqq produit des deux divifeurs pq, p+q & l'on aura l'Equation 3mpp+3 mpg xx+ppq-p3×y—— 2npq2ngg. Soient multipliés de même les deux membres de mg×x+PP. & l'on aura mp-mg x x +PP — qqxy=gn Comparant préfentement ces deux nouvelles Equations avec les deux formules générales on a 1=3mpp + 3 mpq, c=ppg-p3,a=-2npq2ng2, e=mp_mq, f=p2—q2, d—gn D'où l'on tire cd = p2q2n = 3 p3qn, af —— 2 2np3q—2np2 q2 + 2pq3n+2ng*, ae=2nmq3 ·2nmp2 q, bd=3mnp2 q+3mnpq2; ce= · mp2q2; bf=3mp3 q+3mp' 2p3 qm—mp+ 2 &partant cd af qnp3+3p2q2n—2npq3—2nq* ce-bf=2mp2 q2-4mp* —mp3q+3mpq3. ae_bd=2nmq-5mnp1q—3mnpq qui gn p3 + 3 p p q qn nog 3—2ng+ 2 mp2 q2 —¿mp4—mp3 q+mpq3 donnent x= & J 2mp pq q4mp+ 2nmq 73. —smnp 2 q —— 2 m n pq q LXIX. Si on compare présentement ces deux valeurs de x & de y avec celles qu'on avoit trouvées des deux foComparaifon précédemment, on voit d'abord fans aucune lutions prédifficulté l'idendité des deux valeurs de. Quant cédentes. aux valeurs de x, pour fçavoir comment la premiere peut être la même chofe que la feconde, il faut remarquer que l'égalité qui doit être entre ces deux expreffions, fuppofe néceffairement que le numérateur qnp3 + 3 nppqq 2npq-2ng+ de la feconde contienne le nu• gnpp 4pq2 n293% de la premiere, de la même maniere que le dénominateur 2mp1q: 4mp mp3q+3mpq3 de la feconde contient le dénominateur 4p3m + sp2 qm +3mpq de la premiere. Or en prenant la peine de divifer le fecond numérateur par le premier, on trouve en effet le même quotient pqu'en divifant le fecond dénominateur premier. Ceft-à-dire que l'expreffion. mérateur - 2 par 9 le La maniere dont on vient de réduire la plus compofée des deux valeurs de x à la plus fimple étoit aisée à imaginer lorsqu'on sçavoit l'une & l'autre de ces deux expreffions, mais fi on n'eût connu que la plus compofée & qu'on eût voulu la simplifier, on auroit été beaucoup plus embarraffé, puifqu'on n'auroit pas fçû par quelle quantité il falloit divifer le numérateur & le dénominateur de la fraction. Or, comme ce feroit un vice dans la folution d'un Problême qu'une valeur d'x réductible & non réduite il faut chercher une méthode pour réduire toute fraction qui peut le réduire, ou ce qui revient au même, il faut chercher une méthode pour trouver quel eft le plus grand divifeur commun que puiffent avoir deux quantités données. Suppofons d'abord, pour aller du plus fimple au plus compofé que ces deux quantités ne foient que des nombres; que l'on ait, par exemple, à chercher le plus grand divifeur commun des nombres 637 & 143 ou, ce qui revient au même, que l'on fe propofe de réduire la fraction à fa plus fimple expreffion. 637 143. Divilant Divifant d'abord 637 par 143 il vient 4 Pour quotient & 65 pour refte, c'est-à-dire, que la fraction 37 fe change en 4+ 143 d'où la queftion eft réduite à abbaiffer la frac tion, ou ce qui revient au même, à chercher le nombre qui eft le plus grand commun divifeur des nombres 143 & 65. Car lorfque ce nombre fera trouvé, il est évident qu'il fera auffi le plus grand commun diviseur des nombres 637 & 143, puisqu'on ne fçauroit réduire la fraction à la plus fimple expreffion, qu'on ne réduife en même-tems 4+4 ou 627 à fa plus fimple expreffion. 43 143 14 Les deux nombres 143 & 65 fur lesquels il s'agit d'opérer préfentement étant plus fim→ ples que les deux premiers: 637 & 143, je vois que la difficulté eft diminuée, & qu'en s'y prenant de la même maniere on la diminuera encore. Au lieu de la fraction à réduire, j'écris non que je prétende quelices fractions foient les mêmes, mais parce qu'on ne fçauroit réduire l'une, que l'autre ne se réduise de la même maniere. Enfuite pour réduire 143 je divife 143 par 65, ce qui me donne 2 pour quotient, & 1g pour refte. Il ne faut donc plus, par le même principe, que chercher le plus grand commun divifeur de 13 & de 65. Car on voit que le plus grand commun divifeur de ces deux nombres fera auffi celui de 14; & de 65, à caufe que la fraction 143 le change en 213 65 Préfentement le plus grand commun divifeur de 13 & de 65 eft 13 lui-même, puisqu'il F Méthode viseur de deux nom bres. divife exactement 65. Donc 13 eft auffi le réductible. 637 14: LXXI. On peut s'affurer facilement que la méthode Cette régle dans toute fa généralité, comme C s'abbaiffer que lorfque s'abbaifle, que ne fçauroit fe réduire que de la même maniere què B B C & que étant b ne fçauroit le réduire fans que |