2 tiplier tous les termes par 479; mais cette quantité eft un diviseur de H, je l'ôte donc de H & il me refte gp pour fervir de diviseur à 39 p2 1 7 p q 22 92. Or la divifion se fait exactement, donc g-peft le plus grand divifeur commun cherché des quantités proposées. LXXV. Soient propofées préfentement les deux quantités a b+2a a 3 b b 4 b c — a c — c c & 9ac2aa5 ab + 4 cc + 8 b c — 12bb, ordonnant ces deux quantités par rapport à a j'ai 2 a a+ba—ca—z b b — 4 b c 4bc cc & 2 aa+oca sba 126b+ 8bc4cc, ou (4) 2a a+b -cxα3bb4bccc & (B) 2 a a+ 9 c—5b xa -12bb8b c + 4 cc. b Pai I Divisant la premiere par la feconde pour quotient & pour refte (C) 6 b —10 c × a +9bb12bc5 cc. Pour divifer B par cette quantité, je vois qu'il faudroit auparavant la multiplier par 3 5c. Mais avant d'en faire l'opération, je tente la divifion de C par 3 b 50 elle réuffit, & donne pour quotient (D) 2a + 3 b + c ; je n'ai donc plus qu'à chercher le plus grand commun divifeur de B & de D; mais B eft divifible exactement par D, donc Dou 2 a + 3b+c eft le plus grand commun diviseur cherché de ab+2aa3bb366 -4bc. , 46 a c-cc & de 9 ac + 2 a a-5 ab+4 co+ 8bc12bb. En effet la premiere de ces deux quantités eft le produit de 2a + 3b + c la feconde le produit de par a b 2a+3b+c par a-4b+ 4c, & ces deux quantités ab — c & a 46 + 4c n'ont plus aucun commun divifeur. LXXVI. →2cc+4cdxa 2 Exemple. Soient les deux quantités (A) dd—ccxa2 Troifiéme + c 4 - d d c c & (B) 4d a2 +2 c3 ordonnées par rapport à a. Je change d'abord B en (C) 2 da2 - cc+2 c dxa+c3 en ôtant de tous les termes le divifeur qui n'eft pas commun avec A. Je multiplie enfuite A par 2 d afin de rendre la divifion poffible, ce qui me donne pour quotient dd-ce pour refte (D) ddccxcc+2cdx a d d 3 - c c x c3 + 2 dc4 - 2 d 3 c c fi on vouloit alors que cette quantité fervit de diviseur à C, il faudroit multiplier auparavant C par ddccx cc+2cd afin que fon premier terme permit la divifion. & 4 3 Mais avant de faire cette multiplication, il faut fçavoir fi dd ccxcc+2 cd, ne feroit point ou un diviseur ou un multiple de quelque divifeur de D. Pour le fçavoir, je cherche le plus grand commun diviseur de dd ccxcc+2cd & ded—ccxc3+ 2 dc + — 2 d3 cc, c'est-à-dire de ddcc-c+ +2cd32c3 d& de-ddc3+c+2dc4 -2 d3 cc; mais je vois tout de fuite que la feconde de ces quantités n'eft autre chofe que le produit de la premiere par-c, &partant que la quantité D fe réduit au produit de dd-ccx cc+2 dc par ac, donc au lieu de multiplier C par ddccxcc+2dc, je divise 3 D par cette quantité & il vient (E) ac dont il faut chercher le plus grand commun divifeur avec C; or ac divife exactement C, donc a-c eft le plus grand diviseur cherché. LXXVII. Au reste avec un peu d'habitude dans le calcul, on découvre fouvent le plus grand commun diviseur de deux quantités plus facilement que par la méthode générale qu'on vient d'expliquer. Par exemple les deux quantités foudre le mé précédentes ddcc xa a + c1 — d d c c & -ddcc me exemple. 4 da a—2 cc +4 c d x a + 2 c3 étant ordonnées par rapport à d, & par consequent étant fous cette forme a accx Autre ma niere de ré Autres quan tités dont on 4 ddc 4 a acc & 4ca-4aax d + 2 c3 — 2 c2a, il eft aifé de découvrir que a acc eft un divifeur de la premiere, & ca un diviseur de la feconde. Mais a acc eft divisible par c-a, donc ca eft un divifeur des deux quantités propofées, je les divife donc l'une & l'autre parca, & j'ai pour leurs quotients. cc-ddxca; & 4 ad + 2 c c qu'on voit affez facilement n'avoir plus de commun diviseur, donca ouac étoit le plus grand commun divifeur des quantités propofées. LXXVIII. Qu'on le propofe maintenant de chercher le trouve le plus grand commun divifeur des deux quantiplus grand tés 6a+ 15 a + b — 4 a3 c c — 1 0 а a b c c vifcut fans la & 9a3b27a a b c 6 a b c c + 18 b c3 a abc. commun di a 3 je commence par ôter a a de tous les termes méthode de la premiere; & 3 b de tous ceux de la fe- précédente. conde. J'ai alors 6a3+15 a2b— 4 acc - 10 b c c & 3 a9aac-2 acc+6c2; mais comme la feconde de ces deux quantités ne contient aucun b, je conclus que fi elle a un commun divifeur avec la premiere, il faut qu'elle l'ait féparement avec fes deux parties 6a-4acc & 15 a2 b10b cc, & que ces deux parties doivent auffi avoir entr'elles le même commun divifeur. Or on voit tout de fuite quez aa—2cc eft le diviseur commun de ces deux parties, donc il eft le plus grand commun diviseur des quantités propofées fi elles en ont un. Le prenant donc pour divifer ces deux quantités on voit qu'en effet il les divife & qu'il eft par consequent leur plus grand commun divifeur. LXXIX. nues dans un quationspour On a vû suffisamment par ce qui précede Lorfqu'll y que pour trouver les deux inconnues que ren- trois inconferme un Problême, il faut avoir deux Equa- Problème, il tions, il n'eft pas difficile d'imaginer en par- faut trois Etant de-là que lorfqu'il y aura trois inconnues le réfoudre. dans un Problême, il faudra trois Equations & ainfi de fuite. Quant à la maniere de dégager les inconnues de ces Equations, elle ne fera pas difficile non plus à imaginer après ce qu'on en a vû pour celles qui ne renferment que deux inconnues. Car qu'on ait trois Equations con- dégage les tenant chacune les trois inconnues x,y,z; fi inconnues de on tire la valeur de x de chacune de ces Equa-cons ces Equa Comment on dans lequel nues. tions exprimée par le moyen des connues & des deux autres inconnues y, z, de ces Equations, il est évident qu'en égalant les unes aux autres ces différentes valeurs de x on aura deux nouvelles Equations qui ne contiendront plus que les deux inconnues y &z, & qui feront par confequent dans le cas de celles dont nous venons de parler. Il en feroit de même des Equations à quatre, cinq &c. inconnues. Comme la méthode générale qu'on vient d'expliquer peut renfermer des difficultés dans l'exécution, nous allons en montrer l'application dans le Problême suivant qui renfermera la plus grande complication que peuvent avoir les Equations du premier dégré à trois incon nues. L X X X. Problème On fçait ce que trois magafins contenant chaon employe cun trois fortes de denrées, on couté les uns & trois incon- les autres féparement; on fçait de plus le nombre de mesures que chaque magafin contient de ces trois différentes denrées; on demande à combien revient une mesure de chaque denrée. Soient a, b, c, les nombres de mesures de chaque denrée contenue dans le premier magafin, & foit d le prix de ce magasin. Soient de plus e,f,g, les mesures des mêmes denrées contenues dans le fecond magasin dont le prix eft fuppofé h. Soient encore i, k,l les mefures des mêmes denrées contenues dans le troifiéme magasin dont le prix eft fuppofé m. |