gagent les Lecteurs à apprendre plufieurs opérations effentielles de l'Algébre, telles que les extractions des racines quarrées, la réduction des radicaux, leurs additions, fouftractions, &c. opé→ rations qu'on donne d'ordinaire au commencement des Elémens d'Algébre, mais que mon Plan exigeoit de placer en ce lieu.

De ces opérations je paffe à un Problême dans lequel on doit employer plufieurs Equations du fecond dégré contenant chacune plufieurs inconnues, & je donne les moyens de réduire toutes ces Equations à une feule qui ne contienne qu'une inconnue. Je fais voir en même-tems que cette méthode n'eft pas propre aux Equations où les inconnues ne montent qu'au fecond dégré, mais qu'elle s'étend à tous les dégrés.

La troifiéme Partie a pour objet les Equations de tous les dégrés prifes en général; je traite du nombre de leurs racines, des propriétés que les coefficiens du fecond, du troifiéme, &c. terme ont d'être ou la fomme des racines,

ou celle des produits de ces racines, &c. Je tire de ces propriétés la fameuse regle de Descartes, pour trouver toutes les racines commenfurables qui font dans une Equation; & comme cette méthode engage dans des calculs exceffifs à caufe du grand nombre de divifions qu'il faut tenter, je donne la méthode de Mr Newton, qui s'étend nonfeulement aux racines commenfurables ou divifeurs d'une dimenfion, mais aux divifeurs de tant de dimenfions que l'on veut. Je ne me contente pas de donner la démonftration de cette méthode que Mr Newton avoit fupprimée, mais je fais voir par quelle route il a pû la découvrir. C'eft un avantage que je ne crois pas qu'on puiffe trouver dans la démonftration que Mrs'Gravefande en a donnée ( dans fon Specimen commentarii in arithmeticam univerfalem, inséré à la fin de fes Elémens d'Algebre) & qui eft la feule que je fache avoir été donnée malgré le grand nombre de traités d'Algebre qui ont parû depuis Mr Newton. J'ai appris cependant que le R. P. Jacquier,connu pour avoir com

menté les recherches de Mr Newton les plus élevées avoit pris la peine de traiter celle-ci, mais ce qu'il a fait fur cette matiere n'eft pas venu à ma connoiffance.

Au refte dans cette Partie & dans celles qui fuivent, je ne m'arrête pas, comme dans les deux précédentes, à montrer les Problêmes qui pourroient avoir conduit aux Equations que j'examine, parce que je ne crois plus avoir befoin de ce motif pour exciter la curiofité des Lecteurs. Ils ont dû fuffisamment voir par les premiers Problêmes, de quelle importance il étoit de fçavoir réfoudre toutes fortes d'Equations.

Je traite dans la quatriéme Partie des Equations de tous les dégrés lorfqu'elles n'ont que deux termes, ou lorfqu'en ayant trois, elles fe réduisent à la méthode des Equations du fecond dégré par une fimple transformation. J'enseigne par ce moyen aux commençans, un grand nombre d'opérations fur les quantités radicales de toute efpéce, & je leur donne une connoiffance entiere de l'élévation des puif

fances, & de l'extraction des racines.

Une regle qui eft absolument nécesfaire pour la réfolution complette de ces Equations & qui a toujours été omise dans tous les Auteurs Elementaires, (excepté Mrs'Gravefande) c'est l'extraction des racines des quantités en partie commensurables, & en partie incommenfurables: Mr Newton à qui on doit cette regle, l'ayant donnée à fon ordinaire fans démonftration, je l'ai traitée ici comme un Problême; par ce moyen la découverte & la démonstration marchent toujours de con

cert.

La Méthode de Mr Newton s'étend aux quantités numériques quelque foit l'expofant de la racine, mais elle ne s'applique pas aux quantités littérales, lorfque cet expofant paffe le fecond dégré; je fupplée ce qui manque à cette Méthode, en donnant le procédé qu'il faut fuivre pour les quantités littérales. De plus je fais voir que la Méthode de Mr Newton, pour les quantités numériques, peut induire en erreur dans quelques occafions, c'est lorfque la racine

d'une quantité contient des fractions quoique la quantité n'en contienne point. Je montre ce qu'il faut faire alors pour remédier à cet inconvenient.

Mrs'Gravefande qui a commenté l'article de l'Arithmétique univerfelle de Mr Newton, où fe trouve cette Méthode, n'a point remarqué les cas qui peuvent y échapper, & il n'a point donné la maniere de l'appliquer aux quantités littérales de tous les dégrés.

Toutes ces opérations fuppofant dans le cas d'une puiffance quelconque la formule du Binome, j'en donne une démonstration nouvelle, & je montre les différentes utilités qu'on peut tirer de cette formule, pour trouver par approximation toutes fortes de quantités compofées à volonté de radicaux, de fractions, &c. ce qui peut préparer les commençans à l'analyfe de l'infini.

La cinquiéme Partie traite des Equations du troifiéme & du quatriéme dégré qui ont tous leurs termes, c'est-àdire, toute la complication qu'elles peuvent avoir. Je donne d'abord la folution générale des Equations du troi