ptotes, & dont les termes font disposez dans l'un & l'autre membre de l'équation felon ce qui eft dit dans le mier cas de la remarque précédente. Faifant donc x c pre y a, l'on réduira l'équation à 'celle-ci celle - ci c༢༢. — zayzaac, ou y = { ac. II —yz={ faudroit faire la feconde réduction prendre pour =u; mais parceque l'inconnue y qui n'eft point quarrée dans l'équation à réduire fe trouve négative dans cette feconde réduction, & qu'elle y doit être pofitive, les réductions que l'on vient de faire ne ferviront de rien. Il faut donc changer les fignes de tous les termes de l'équation pour la réduire de nouveau, & l'on aura acx 1CXX y Zy+, & faisant — — ay-xy; & en faisant a — x=Z, l'on rédui ra l'équation à celle-ci ac = +=u, l'on aura aczu. quation réduite ferviront à décrire l'Hyperbole, qui paffera par le point K ou A qui (Hyp.) ne font qu'un même point. On voit encore par l'équation à réduire que P'Hyperbole doit paffer par le point K: car fi l'on fait x= o, l'on aura aussi y=0, d'où il fuit que les coordonnées s'anéantiffent au point K. Où l'on donne la Méthode de conftruire les Problêmes XXIII. mêmes, elles auront leur origine en un même Es inconnues de ces deux équations étant les point, & ayant conftruit ces deux équations l'une après l'autre par les regles de la Section précedente, les points où les courbes aufquelles elles appartiennent fe couperont, réfoudront les Problêmes, comme on va voir par exemples qui fuivent. I. EXEMPL E. I. Problême Solide. les 1. UN demi cercle A M B dont le diametre eft AB, & le FIG. 96. centre C, & une ligne GH perpendiculaire à AB, étant donnez de pofition, il faut trouver fur la circonférence le point M, par où ayant mené du centre C, la droite CME, qui rencontre GH en E, & par le même point M, la droite MH parallele à AB, qui rencontre la même GH en H, HE foit égale au demi diametre CB du cercle donné, ou à une autre ligne donnée. Ayant fuppofé le Problême réfolu, on abbaisfera du point M fur AB la perpendiculaire MP; & ayant nommé les données CB, où CM, ou ( Hyp.) HE, a; BG,b; & les indéterminées CP, x; PM,y; PG, ou MH sera a+b — x, & les triangles semblables CPM, MHE, x(MH). donneront x, (CP).y (PM):: a + b a(HE), d'où l'on tire ax = ay + by xy, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes. Et à caufe du triangle rectangle CPM, l'on aura xxyy aa qui eft une équation au cercle... =. Si l'on fait préfentement évanouir l'inconnue y, l'on aura après avoir ordonné l'équation, x* 2ax3 + aaxx + za3x - a+ voir Et fi l'on fait évanouir x, ( car il eft à propos de faire évanouir les deux inconnues l'une après l'autre, pour fi l'équation qui réfulte d'une maniere n'eft pas plus fimple que celle qui réfulte de l'autre ) l'on aura. y' + 2ay ✦ aayy — 2a'y — aˆ — 0. + zab + bb qui paroit plus fimple que la précédente. Mais comme ces deux équations font du quatriême degré, & qu'on ne peut, ni par la divifion, ni par la transformation, les réduire à une équation du fecond; il fuit que le Problême eft folide, & parceque l'une des deux équations indéterminées appartient au cercle, on le conftruira par leur moyen en cette forte. ✖= ༢.,、 Il eft clair que l'équation xx+yyaa, appartient au cercle donné AMB; c'est pourquoi il n'y a qu'à construire l'équation à l'Hyperbole ax = ay ✦ by — xy ; faifant donc pour la réduire a + b l'on aura x a+b−z; & mettant cette valeur de x dans l'équation, elle deviendra aa + ab — az = yz, ou aa + ab = yz + ༧༢.; & faifant encore encore y + a=u, l'on aura l'équation ré- . duite aa + ab uz, qui fournit avec les réductions cette conftruction. = Le point C étant l'origine des inconnues x qui va vers G, & y parallele à GH; à caufe de la premiere réduction a+b -x, le point G fera (Art. 16. n°.4.) l'origine de qui revient vers C. A caufe de la feconde réduction ༢. x= ༢., y+au, on prolongera HG, en O, & ayant fait GO DE'MONSTRATION. AYANT prolongé M P jusqu'à l'afymptote O Z en K, 2. DIVISER un arc de cercle donné BDC, dont le centre F16. 97. eft A, & la corde BC, en trois parties égales BD, DF, FC. Ayant supposé le Problême réfolu, les cordes BD, DF, FC feront égales, celle du milieu DF fera parallele à BC, le rayon AĚ, perpendiculaire à BC fera auffi perpendicu laire à DF, & les coupera toutes deux par le milieu en H & en G, & fa partie AH comprise entre le centre A, & la corde BC, sera donnée de grandeur, & de position: mais AG & GD ou GF feront indéterminées. Si l'en mene encore les deux rayons AD, AF, qui rencontrent BC en I & en K; HI fera = HK, & les triangles BDI, CFK feront égaux, femblables, & ifofceles; puifque par l'Hypothese l'angle IDB — IDF — AIK — BĪD. Þar Bb la même raison l'angle KFC KFD = IDF = AKI ➡CKF; & qu'outre cela BD=CF. Nommant donc les données AE, ou AD, ou AF, a; HB, ou HC, b; AH, c; & les inconnues AG, x ; GD ou GF,y; DF, ou DB, ou BI fera, 2y; & partant HI, b-2y. l'on tire bx A caufe des triangles semblables AGD, AHI, l'on aura x (AG).y (GD):: c(AH). by (HI), d'où 2xy=cy, qui eft une équation à l'Hyperbole par raport à fes afymptotes; & à caufe du triangle rectangle AGD, l'on aura xxyy = aa, qui est une équation au cercle du Problême BDC. Si l'on fait préfentement évanouir une des deux inconnues renfermées dans les deux équations indéterminées que l'on vient de trouver, l'on aura une équation du quatriême degré qui ne peut être réduite à une équation du fecond, d'où l'on doit conclure que le Problême eft folide; ainfi on le peut conftruire par le moyen des deux mêmes équations indéterminées. Mais l'équation au cercle se trouve conftruite, puifqu'elle fe rapporte au cercle du Problême BDC. C'eft pourquoi il n'y qu'à conftruire l'équation à l'Hyperbole, qui étant réduite donne avec fes réductions cette construction. Soit prolongée AH en L, en forte que AL-AH, & menée par Z une parallele à BC, fur laquelle ayant pris ZOHB, l'on menera par O la droite OM.parallele à AĞ, qui rencontrera H B en X. L'Hyperbole 4D décrite par le centre A entre les afymptotes OL, OM, coupera l'arc BDC au point cherché D; de forte que fi l'on mene DF parallele à BC, les points D & F diviseront l'arc BDC en trois parties égales B D, DF, FC. DEMONSTRATION. AYANT mené par le point D, où l'Hyperbole A D coupe l'arc BDC, la droite DN parallele à l'afymptote OM, qui rencontrerà HB en V, & LO en N, & par le centre A, le diametre gAf parallele à l'asymptote OZ, |