fouvent avec beaucoup de difficulté, de certaines courbes préferablement à d'autres qui fe prefentent naturellement, & dont la defcription eft fouvent très fimple: en quoi je voudrois que les courbes fuffent préferées, fans avoir égard à leur genre, de la maniere qu'on le détermine ordinairement.

AVERTISSEMENT.

Lorfqu'on fait qu'un Problème eft fimple, ou plan, il n'est point neceffaire d'avoir égard à la premiere Obfervation, ni a'employer deux lettres inconnues pour le refoudre. Il y a aussi des Problèmes fi fimples, qu'il n'y a aucune difficulté, ni pour nommer les lignes, ni pour trouver des équations.

Tout ce qu'on a dit dans cette premiere Section fera éclairci par toute la fuite de cet Ouvrage, qui n'en est que l'Application, & un Commentaire.

SECTION I I.

Où l'on donne la maniere d'exprimer Geometriquement les quantitez Algebriques, & de refoudre les Problémes fimples, et plans; ou ce qui eft la même chofe, de conftruire les équations déterminées du premier & du fecond degré.

V.

O

N peut exprimer Geometriquement toutes les quantitez Algebriques, par le moyen des quatre operations fuivantes, qui font de trouver des troisièmes, quatriêmes & moyennes proportionnelles, & de tirer les racines de la fomme, ou de la difference de deux ou de plufieurs quarrez.

ab

1. Pour exprimer Geometriquement —; ayant -; ayant mené FIG. 3. une ligne droite AH, dont l'extrêmité A foit fixe, fait AB=c, AD=a, mené BC=b, qui faffe avec AB un

angle quelconque ABC, s'il n'eft pas déterminé d'ailleurs, & mené ACG; la ligne DE parallele à BC fera

ab

c

: car

à caufe des paralleles BC, DE, l'on aura AB (c). AD

ab

(a):: BC (b). DE= Ce feroit la même chofe s'il

c

aa

faloit exprimer Geometriquement -:car il n'y auroit

c

où

qu'à faire BC=AD=a, après avoir fait AB=c; l'on remarquera que toute quantité fractionnaire peut être regardée comme le quatriême terme d'une proportion, qui renferme les trois autres, & dont le dénominateur eft le premier. De même pour exprimer Geometriquement ;

aa+ab

c+ d

aa + ab

en réduisant en proportion l'on a c+d. a+b:: a. Faifant donc AB=c+d, AD=a+b, BC = a; DE

réduifant en proportion l'on a . c.a+b::a—b.

aa

aab

cd

aa

& d. b :-.

l'on exprimera d'abord comme on vient de voir

C

aab

pour les quantitez précedentes, & ensuite Il en eft

ainfi des autres quantitez fractionnaires.

-

cd

2. Pour exprimer Geometriquement Vab. Il faut pren

FIG. 10. dre fur une ligne droite AH, AD-a, & DB=b, & ayant décrit un demi cercle fur le diametre AB; la ligne DE perpendiculaire au point D, fera égale à Vab: car nommant DE, x; l'on aura a ( AD). x (DE) :: x ( DE ). b (DB); donc xx=ab, & x= Vab. De même pour exprimer Vaa+ab, on voit que aa+ab, eft la produite de a+b; par a. Ainfi ayant fait AD=a+b, & DE DB a; DE, fera Vaa+ab.

Semblablement, pour exprimer Vaa - bb; puifque aa-bb, eft le produit de a+b par a — b, en faisant AD=a+b, & DB=a-b; DE fera-Vaa-bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir no. 3.

Pour exprimer

m

n

Vaa-bb; ayant trouvé, comme

on vient de faire DE=√aa—bb, & l'ayant nommée ; c, l'on aura au lieu de — Vaa — bb, & l'on trouvera (no. 1.)

mc

mc

FIG. 3. DE —›

n

m

n

faifant AB=n, BC=m, & AD=c.

3. Pour exprimer Geometriquement Vaa+bb. Puifque aa+bb eft la fomme de deux quarrez, il eft clair que FIG. 11. fi l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de fes côtez AB étant nommé a, & l'autre BC, b; l'hypothenuse AC sera =√áa+bb. Il ne feroit pas plus difficile d'exprimer la racine de la fomme de plufieurs quarrez, comme Vaa+bb+cc, &c.

Pour exprimer Geometriquement Vaa—bb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit -un triangle rectangle dont l'hypothenufe foita racine du quarré pofitif, & un des côtez=b racine du quarré negatif, l'autre côté fera =√aa—bb. Ce qui fe fait en F16. 12. cette forte, foit décrit fur le diametre AB—a, le demi cercle ACB, & foit infcrit dans le demi cercle de la ligne AC=b, & mené CB; l'angle ACB, étant droit à

cause

=

cause du demi cercle; CB fera Vaa-bb. La même chofe s'execute encore en la maniere fuivante. Soit dé. FIG. 13. crit un demi cercle fur le diametre AB=2a,

élevée au

centre C la perpendiculaire CH, prise CGb racine du quarré negatif, menées EF, & FD paralleles à AB,& à HC, & mené le rayon CF; GF ou CD fera-Vaa-bb; puifque CFa, & CG, ou DF=b. Cette derniere maniere convient mieux à la construction des équations que la précedente.

aa+bb-cd
b

4. Il y a des quantitez Algebriques plus compofées que celles dont on vient de parler (no. 1, 2, 3 ;) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'après y avoir fait certains changemens. Or ces changemens consistent particulierement à mettre l'expreffion Algebrique d'un quarré en la place de l'expreffion Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expreffion Algebriqué d'un rectangle dont un côté foit donné en la place d'un autre rectangle, ou d'un quarré. Ainfi pour exprimer geometriquement cette quantité fractionnaire dont le numerateur n'est point le produit de deux quantitez que l'on puiffe féparer par la divifion, & qui ne peut par confequent être réduite en analogie, il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté foit & le rectangle Algebrique cd, en un autre rectangle Algebrique, dont un côté foit auffi afin que la lettre a fe trouve dans tous les termes. Soit pour ce fujet x, le côté du rectangle qui doit être égal à bb, dont l'autre côté eft la ligne donnée, exprimée par a; l'on aura, felon les termes de la queftion, ax = bb; donc x = —;

a,

a,

bb

a

bb

a

ayant donc (no. 1.) exprimé geometriquement ; & l'ayant nommée ƒ; l'on aura fx ; & partant af bb. Soit femblablement y le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté eft la même donnée a; l'on

E

cd

aura ay cd; donc y=: & ayant nommé g l'exprefay=cd;

cd

a

fion de trouvée (no. 1.); l'on aura ag=cd; la quan

a

tité precedente fera donc changée en celle-ci,

aaaf-ag b

en mettant pour bb, & pour cd, leurs valeurs af, & ag que l'on vient de trouver, qui eft facile à exprimer, puifqu'on la peut à prefent réduire en l'analogie suivante 6. b. aa+af-ag a :: a +f―g. On auroit pû changer le quarré

b

aa, & le rectangle cd, au lieu que l'on a changé bb, & cd.

5.Pour exprimer la quantité vaa be, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté foit 6 ou c; ou bien le rectangle be en un autre, dont un côté soit a ; & on en aura enfuite facilement l'expreffion geometrique (no. 2.) Il en est ainfi des autres.

6. Les manieres dont nous venons de nous fervir pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques font generales: on les peut fouvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de pofition, ou en décrivant quelques cercles, felon que l'indique la figure de chaque Problême que l'on conftruit: mais comme ces manieres font particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut réfoudre & conftruire les Problêmes le plus élegamment qu'il lui eft poffible. On les trouvera pratiquées dans plufieurs exemples.