MAm, eft une parabole, dont le parametre est =4AF=2FD. C. Q. F. D.

p = 4a

L'équation px=yy peut être réfolue par le cercle. Car FIG. 54. ayant mené une ligne AB indéfinie, fi vous prenez AD =p; & que d'un point quelconque C pris fur AB, & du rayon CA, vous décriviez le cercle AEG, qu'enfin du point D, vous meniez la perpendiculaire DE, cette ligne DE=y&DB=x. Car par la proprieté du cercle AD

-L

× DB=DE. Or AD=p. Donc AD x DB=px, &

2

×

ED= yy. C'est-à-dire que DB=x & ED=y. Mais comme le rayon CA du cercle peut augmenter à l'infini, x & y augmenteront à l'infini; & x augmentant, y aug

mentera.

COROLLAIRE I.

1.IL eft évident que 2FD. PM :: PM. AP: car l'équa- F 16.53. tion 4ax = yy, étant réduite en analogie, donne 4a.

y: y. x.

COROLLAIRE I I.

2.IL eft clair que fi l'on mene par D la ligne ED paral- F1 G. 53. Dla FIG. lele à PM, & par les points M,m qui font communs à la parabole & à la perpendiculaire MPm, les droites MĖ, me paralleles à PD, elles feront égales entr'elles, à PD, & à FM, & que les parties PM, Pm de la perpendiculaire MPm, feront auffi égales.

DEFINITION S.

3. LA ligne AP eft nommée l'axe de la parabole; A,F16.53. le fommet de l'axe, ou de la parabole; PM, ou Pm l'appliquée ou l'ordonnée ; AP, l'abciffe ou la coupée; F, le foyer; D, le point generateur; Ee, la ligne generatrice; AB, quadruple de AF, ou de AD, le parametre de

l'axe.

L

4. L'ON voit par l'équation précedente 44x = yy que x croiffanty croît auffi; & qu'ainfi la parabole s'éloigne toujours de plus en plus de fon axe à mesure que le point P s'éloigne du fommet A, & que cela peut aller à l'infini: car il n'y a rien dans l'équation qui empêche d'augmenter x à l'infini.

5.D'Oil fuit que les lignes comme EM meneés paralleles à AP paffent au-dedans de la parabole étant prolongées vers R, & ne la rencontrent qu'en un seul point M.

COROLLAIRE V.

6. SI dans l'équation 44x=yy, l'on fait x=a, le point P tombera en F, & l'on aura 4aa=yy; donc 2a=y; c'est-à-dire que l'appliquée FO qui part du foyer est égale à la moitié du parametre, & fi l'on fait x=4a, l'on aura 16aa =yy, ou 4a=y, c'est-à-dire que AP, & PM feront chacune égale au parametre.

7.

COROLLAIRE VI.

IL eft manifefte que la quantité constante qui accompagne l'inconnue ou l'indéterminée qui n'a qu'une dimenfion dans un des membres de l'équation, eft l'expreffion du parametre de l'axe de la parabole, lorfque le quarré de l'autre indéterminée est seul dans l'autre membre: par exemple dans cette équation = yy, eft l'expreffion du parametre de l'axe de la parabole dont l'abciffe eft x; & l'appliquée y.

PROPOSITION II.

Theorême.

8. LES quarrez des ordonnées PM, QN font entr'eux F16.53. comme les abciffes correfpondantes AP, AQ

Ayant nommé comme dans la Propofition précedente AB, 4a; AP, x; PM, y; & AQ, f; QN z.

Il faut prouver que PM2 (yy). QN2 (1⁄21⁄2) :: AP (x) .AQS.

DE'MONSTRATION.

L'On a par la Proposition précedente 4ax = yy, & 4af=zz; donc yy. zz:: 4ax. 4af:: x. f. C. Q. F. D.

9.

que,

LES mèmes choses étant toujours supposées. Je dis fi d'un point quelconque m pris fur la parabole, on mene me parallele à PA, qui rencontrera la generatrice en e, & & par le fommet A, la droite AC parallele à De qui rencontrera em en C, le cercle mle décrit fur le diametre me coupera AC par le milieu en I.

Ayant nommé la donnée AD, ou eC, a ; & les indéterminées AP, ou Cm, x; Pm, ou AC, y ; & CI, S.

Il faut prouver que CI (S) AC (1).

2

DE'MONSTRATIO N.

& par

L'ON a par la premiere propofition 4ax =yy,
la proprieté du cercle ax (eC x Cm) = f (CI2), ou

I

4ax= 4ff; donc y = 2, ou — y=f. C. Q. F. D.

PROPOSITION IV.

Theorême.

FIG. 53. 10. EN supposant encore les mèmes choses, fi l'on prend AG, menée par le fommet A parallele aux appliquées PM, pour l'axe de la parabole, & GM parallele à AP, pour l'appliquée, en nommant AG ou PM, x; GM, ou AP, y ; & le parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF × GM= AG'.

DE'MONSTRATION.

L'ON a par

F. D.

Na par la premiere Propofition 4ay=xx. C. Q.

L'on n'a mis ici cette Propofition que pour faire voir qu'il eft indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abciffe, & l'autre pour l'appliquée; ce qui convient à toutes les courbes Geometriques, où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé (art. 3. no. 1'6. ) le parallelogramme des coordonnées.

II.

PROPOSITION V.

Problême.

UN E équation à la parabole, bx = yy, étant donnée, décrire la parabole, lorfque les coordonnées font perpendiculaires l'une à l'autre.

b, étant ( no. 7.) le parametre; x, l'abciffe, & y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est démontré dans la premiere Propofition.

Soit A le commencement de x, qui va vers P; & de y qui va vers B, ayant pris AB = b, & prolongé AP du côté de A, on fera AF, & AD chacune égale à

I

b

4

AB, & l'on décrira une parabole AM par la premiere Propofition qui fatisfera au Problême, & dont A fera le fommet, F le foyer, & D le point generateur.

DEMONSTRATION.

AYANT mené une ordonnée quelconque PM; AF

I

I

étant, — b; AP, x; PM, y; FP, fera x b, ou

I

I

Lb — x; &&M = PD ( n°. 2. ), x + b. Et le trian

gle rectangle FPM donnera xx + — bx + —

bb fe
+yy qui se réduit à bx=yy. C. Q. F. D.

16

REMAR QUE.

=yy.

12. SI l'on avoit nommé (Prop. 1.) DP ̧ x ; & DF, a ;
l'on auroit trouvé 2ax — aa—yy ; & fi l'on avoit nom-
mé FP, x; & DF, a; l'on auroit trouvé 2ax + aa—
Ce qui fait voir que lorsqu'une équation à la parabole a
plus de deux termes, l'origine des inconnues n'eft point
au fommet de l'axe.

PROPOSITION VI.

Problême.

XI. UN E parabole AM, dont l'axe eft AP, le fommet A, FIG. 55ö le foyer F, le point generateur D, & la ligne generatrice EDH, étant donnée. On propofe de mener d'un point quel-, conque M, donné fur la parabole, la tangente MT.

Ayant mené par le point donné M la droite MH parallele à l'axe AP, & joint les points F, H; la ligne MOT menée du point M par le point O milieu de FH, fera la tangente cherchée.