DEMONSTRATION.

PUISQUE (Art. 10. n°. 2.) MF = MH, & que FH eft coupée par le milieu en O; la ligne MO eft perpendiculaire à FH ; c'eft pourquoi fi l'on prend fur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque, d'où l'on mene GF, & GH, & GI parallele à AP, le triangle FGH fera ifofcele: mais à cause de l'angle droit GIH, GH surpasse GI; c'eft pourquoi GF furpaffe auffi GI; & par confequent le point G eft hors de la parabole, & partant MO ne la rencontre qu'au point M, où elle la touche. C. Q. F. D.

On peut ajouter pour confirmer cette Démonstration, que fi d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole, on mene RF du point R au foyer, & RH pa rallele à AP qui rencontre la parabole en M, & la generatrice en H, la ligne RH furpaffera toujours RF: car ayant mené MF, elle sera (Art. 10. no. 2. ) =MH: mais RM + MF furpaffent RF; & partant RH furpaffe RF; c'eft pourquoi puifque GF fürpaffe GI, le point G eft hors de la parabole. On ne peut pas dire que point G foit fur la parabole: car GF (=GH) feroit-GI.

COROLLAIRE. I.

le

1. IL eft clair que MO prolongée rencontre l'axe AP auffi prolongé en T: car l'angle FOT eft droit, & l'angle OFT aigu.

1. SI l'on prolonge HM vers R, & la tangente MO du côté de M vers S; l'angle RMS fera égal à l'angle

OMFOMH.

3.

D'où il fuit par les loix de la Catoptrique que fi le foyer F étoit un point lumineux, les rayons refléchis à la rencontre de la parabole feroient paralleles à l'axe;

ou ce qui eft la même chofe, les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, se refléchiffant à la rencontre de la parabole, leurs refléchis pafferoient tous au foyer F.

PROPOSITION

Theorême.

VII.

4. E N supposant la même chose que dans la Propofition prẻcedente. Je dis que, fi l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP en Q. la partie de l'axe PQ, comprise entre le point Q, & lordonnée PM qui part du point M, fera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole.

DE'MONSTRATION.

A Caufe des paralleles HF, MQ, & HM, FQ, les triangles MPQ, HDF font femblables & égaux; c'est pourquoi PQ = DF=(Prop. 1.) à la moitié du parametre de l'axe.

DEFINITION.

5. LA ligne PT est nommée soutangente, MQ_ perpendiculaire ; & PQ, fouperpendiculaire, ou founormale.

PROPOSITION VIII.

Theorême.

6. LES chofes demeurant dans le même état que dans la Propofition précedente. Je dis que la foutangente PT eft double de l'abciffe AP, comprife entre le fommet A & l'ordonnée PM qui part du point touchant M.

Ayant nommé comme dans la premiere Propofition les données AF, ou AD, a; PQ (no. 5.) za; & les variables AP, x; P M, y ; PT, t.

Il faut prouver que t=2x,

་་་

DE'MONSTRATION,

L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT (no. 4. ) sera auffi droit, c'eft pourquoi 2a (QP). y (PM) :: y. t(PT); donc 2at=yy : Mais (Prop. 1.) 4ax=yy; donc zat=4ax; & partant t=2x. C. Q. F. D.

7. Cette Propofition fournit un moyen aifé de mener une tangente à la parabole; car fi d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait ATAP, la ligne MT fera la tangente cherchée.

FIG. 56. 8. UNE parabole AM dont AP eft l'axe ; A le fommet; F, le foyer; D, le point generateur; DE, la ligne generatrice. Si par un point quelconque M pris fur la parabole, on mene (no. 7.) la tangente MT, & par quelqu'autre point L, la ligne LG parallele à la tangente MT. Je dis que la ligne MR menée par le point touchant M parallele à l'axe AP, coupera GL par le milieu en O.

Ayant mené par les points L, M, 0, & G. Les lignes BLI qui rencontrent MR prolongée en I, MP, OC, & GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou AD, a; le parametre de l'axe sera (Art. 10.) 4a=4AF; AP, x; PM; ou BI, ou SR,y; AC, m; BC, ou 10, f; CS, ou OR, z; AB fera, m—f; AS, m+z; CP, ou OM, m-x; & PT (n°. 6.), 2x.

Il faut prouver que OGOL, ou ce qui revient au même OR=01, ou f=2.

DEMONSTRATION.

LEs triangles semblables (Const.) TPM, ORG, OIL, donnent les deux Analogies suivantes.

TP

x (AP). m +z (AS) :: yy (PM2 ). yy + zyyz+YYZZ.

(SG2). & x ( AP). m — [(AB) :: yy (PM2). yy zyys +yyss ( BL2), d'où l'on tire ces deux équations

4xx

B. myyyyf=xyy — 2xyys + xyy, & ôtant le pre

mier membre de la feconde équation B du premier membre de la premiere A, & le fecond de la feconde du fecond de la premiere, l'on a yyz+yys = 2xyyz✦ 2xyy

2X

xyyf, d'où l'on tire z=f, ou OR=01;

donc OLOG. C. Q. F. D.

Il peut arriver differens cas: car le point o s'éloignant de M, le point Z tombera en A, ou de l'autre côté de A par raport à M: mais on le prouvera toujours de la même maniere que z=s, OG —ÔL, c'est pourquoi la Propofition eft generalement vraye.

DEFINITION S.

9. LA ligne MR parallele à l'axe AP eft appellée FIG. 56. diametre, parcequ'elle coupe toutes les GL par le milieu

en 0; le point M, le fommet du diametre MR; MO,

M

l'abfciffe, ou coupée; OL, ou OG, l'ordonnée, ou l'appliquée à ce diametre.

PROPOSITION X.

Theorême.

10. EN fuppofant les mèmes chofes que dans la Propofition précedente. Je dis que le quarré d'une ordonnée quelconque OL, ou OG au diametre MR, est égal au rectangle de L'abfciffe MO par 4MF, ou (Art. 10. no. 2.), ayant prolongé OM en H, par 4MH.

Ayant nommé l'abfciffe MO, t; l'ordonnée OZ, ou OG, u; MF, ou MH, b; & les autres lignes comme dans la Propofition précedente.

Il faut prouver que 4bt=uu, (4MF × MO=OG2).

DEMONSTRATION.

SI l'on ajoute les deux premiers & les deux seconds membres des deux équations A & B de la Propofition précedente, après avoir mis en la place de ; puifque

(Prop. préced.)<=f; l'on aura 2myy = 2xyy →

2xyyzz

4-xx

ou ༢༢ = 41.✖ - 4xx, ou z=4tx, en mettant pour m — x = PC=MO : mais le triangle rectangle ORG, ou OIL donne zz (OR2) + yyzz (RG2. Prop. préced.)

uu ( OG2, ou O L2), qui devient 4tx + 4at = uu en mettant pour la valeur 4tx, & pour yy fa valeur (Prop. 1.) 4ax: mais x+a PD=MF MFMHb; donc en fubftituant b en la place de x+a dans l'équation précedente, elle deviendra 4bt=uu, oų 4MF × MO =OG2. C. Q. F. D.

DEFINITION S.

le

11. LA ligne égale à 4b =4MF parametre du diametre MO.

=

4MH eft nommée