페이지 이미지
PDF
ePub

PROPOSITION I V.

Theorême. F 16.53. 10. En supposant encore les mêmes choses, si l'on prend AG,

menée par le sommet A parallele aux appliquées PM, pour
l'axe de la parabole , & GM parallele à AP, pour l'appli-
quée, en nommant AG ou PM, X; GM , ou AP, y; e le
parametre 4AF, 4a. Je dis que 4AF * GM = AG

'.
D E'MONSTRATION.
L'Ona a par la premiere Proposition 4ay = xx. C. Q.
F. D.

L'on n'a mis ici certe Proposition que pour faire voir qu'il est indifferent de prendre celui qu'on voudra des deux axes conjuguez pour l'abcisse , & l'autre pour l'appliquée ; ce qui convient à toutes les courbes Geometriques,

où les deux indéterminées forment toujours un parallelogramme que nous avons nommé (art. 3. no, n'G. ) le parallelogramme des coordonnées. PROPOSITION V.

Problême. 1.UN E équation à la parabole, bx =

yy, étant donnée , décrire la parabole , lorsque les coordonnées sont perpendiculaires l'une à l'autre.

b, étant ( no. 7.) le parametre ; * , l'abcisse ; & y, l'appliquée de la parabole qu'il faut décrire, comme il est démontré dans la premiere Proposition.

Soit A le commencement de x, qui va vers P; & de y qui va vers B, ayant pris AB=b,& prolongé AP du côté de A, on fera AF, & AD chacune égale à 6

[ocr errors]

4

[ocr errors]

AB, & l'on décrira une parabole A M par la premiere Proposition qui satisfera au Problême & dont A sera le sommer, F le foyer , & D le point generateur.

4

DEMONSTRATION.

AYAN

ANT mené une ordonnée quelconque PM; AF étant , 6; AP, *i PM, y; FP , sera * b, ou 6- *; & FM=PD (no. 2.), x +

PD (no.2.),*+ b. Et le trian

-=6

[ocr errors]
[ocr errors]
[blocks in formation]
[ocr errors]
[ocr errors]

16

bb + yy qui se réduit à bx=yy.C. Q. F.D.

REMARQUE. 12. Si l'on avoit nommé (Prop. 1.) DP , xi & DF, a; l'on auroit trouvé 2ax — aa=yy ; & si l'on avoit nommé FP , *; & DF, a; l'on auroit trouvé 2ax + aa =yy. Ce qui fait voir que lorsqu'une équation à la parabole a plus de deux termes, l'origine des inconnues n'est point au sommet de l'axe. PROPOSITION V I.

Problême. X1. UN E parabole AM, dont l'axe eft AP, le sommet A, F16. ss: le foyer F, le point gencrateur D, & la ligne generatrice EDH , étant donnée. On propose de mener d'un point quelconque M, donné sur la parabole, la tangente MT. . Ayant mené

par le point donné M la droite MH parallele à l'axe AP , & joint les points F, H; la ligne MOT menée du point M par le point O milieu de FH, sera la tangente cherchée.

D E'MONSTRATION.

. Purse

SQUE ( Art. 10. no. 2. ) MF=MH,& que FH est coupée par le milieu en 0; la ligne MO est perpendiculaire à FH ; c'est pourquoi si l'on prend sur MO prolongée ou non prolongée un point quelconque , d'où l'on mene GF, & GH; & GI parallele à AP, le triangle FGH sera isoscele : mais à cause de l'angle droit GIH, GH surpasse GI ; c'est pourquoi GF. furpalle aussi GI ; & par consequent le point G est hors de la parabole , & partant MO ne la rencontre qu'au point M, où elle la couche. C. Q. F. D.

On peut ajouter pour confirmer cerce Démonstration, que fi d'un point quelconque R pris au dedans de la parabole , on mene RF du point R au foyer, & RH pa. rallele à AP qui rencontre la parabole en M, & la generatrice en H, la ligne RH surpassera toujours RF: car ayant mené MF, elle sera ( Art. 10. no. 2.) = MH: mais RM + MF furpassent RF; & partant RH surpas. fe RF; c'est pourquoi puisque GF surpasse GI, le point G eft hors de la parabole. On ne peut pas dire

que

le point G soit sur la parabole: car GF(=GH ) seroit=GI.

COROLLAIRE. I. 1. Il est clair que MO prolongée rencontre l'axe AP aussi prolongé en T: car l'angle FOT est droit , & l'angle OFT aigu.

COROLLAIRE II. 2. Si l'on prolonge HM vers R, & la tangente MO du côté de M vers S; l'angle RMS sera égal à l'angle OMF=OMH.

COROLLAIRE III. 3. D'où il fuit par les loix de la Catoptrique que fi le foyer F étoit un point lumineux, les rayons refléchis à la rencontre de la parabole seroient paralleles à l'axe;

ou ce qui est la même chose, les rayons paralleles à l'axe venant d'un point lumineux infiniment éloigné, se reAéchissant à la rencontre de la parabole , leurs refléchis passeroient tous au foyer F. PROPOSITION VI I.

Theorême. 4. En supposant la même chose que dans la Propofition précedente. Je dis que, si l'on mene par le point touchant M, la droite MQ parallele à HF, qui rencontrera l'axe AP en Q. la partie de l'axe PQ, comprise entre le point de l'oro donnée PM qui part du point M, sera égale à la moitié du parametre de l'axe de la parabole.

D E'M ONS I RA I I O N. A Cause des paralleles HF, MQ, & HM, FQ, les triangles MPC, HDF sont semblables & égaux; c'est pourquoi PQ=DF=(Prop. 1.) à la moitié du para. metre de l'axe.

DE'FINITION. s. L A ligne PT est nommée foutangente, MQ perpendiculaire ; & Pli souperpendiculaire', ou founormale. PROPOSITION VIII.

Theorême. 6. Les choses demeurant dans le même état que dans la Proposition précedente. Je dis que la foutangente PT est double de l'abcisse AP, comprise entre le sommet A e l'ordonnée PM qui part du point touchant M.

Ayant nommé comme dans la premiere Proposition les données AF, ou AD, a; P Q (no. 5.) za; & les variables AP, X; PM, Y; PT, t.

Il faut prouver que t=2X.

D E' M O N S T R A TI O N. L'ANGLE FOT étant (Prop. 6.) droit, l'angle QMT (no. 4.) sera aussi droit ; c'est pourquoi 2a (QP)., (PM) :: y.t(PT); donc 2at=yy: Mais ( Prop. 1.) 4ax=yy; donc zat= 4ax; & partant t=2x. C. Q. F. D.

7. Certe Proposition fournit un moyen aisé de mener une tangente à la parabole ; car si d'un point quelconque M, on mene l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AP; ayant fait AT=AP, la ligne MT sera la tangente cherchée. PROPOSITION IX.

Theorême. Fig. 56.

8.UN E parabole AM dont AP eft l'axe ; A le sommet; F, le foyer; D, le point generateur; DE, la ligne gencratrice. Si par un point quelconque M pris sur la parabole, on mene (no. 7:) la tangente MT,& par quelqu'autre point L, la ligne LG parallele à la tangente MT. Je dis

que MR menée par le point touchant M parallele à l'axe AP,

par

le milieu en O.

par les points L, M,0, & G. Les lignes BLI qui rencontrent MR prolongée en 1,. MP, OC, &GRS perpendiculaires à l'axe AP, & nommé AF, ou AD, a; le parametre de l'axe sera ( Art. 10.) 4a=4AF; AP, *; PM; ou BI, ou SR, Y; AC, m; BC, ou 10, S; CS, ou OR, K; AB sera, m -); AS, m+k; CP, ou OM, m— *; & PT (no. 6.), 2x.

Il faut prouver que OG=OL, ou ce qui revient au même =01, ou s=2

D E' MONSTRATION
Les

s triangles semblables ( Const.) TPM,ORG, OIL, donnent les deux Analogies suivantes.

TP

la ligne

coupera GL

Ayant mené

« 이전계속 »