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aayy

pourquoi ( Art. 9.no. 6.) AB, est le diametre principal de
l'Ellipse; D E son axe conjugé, & C le centre. Ce qu'il
faloit enfin démontrer.
On peut résoudre cette équation aa — xx=

par
le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa
puis faire certe analogie, B.a + x.y::y.

atx =, & l'on aura aa

On fera ensuite cette

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CC

aayy

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ad

aaz
CC=.

aa

da

te id laut ull-a::2,

autre analogie, D. a-x.a :: a. =u, & l'on aura

CC = zu.
F16.59. Pour trouver toutes les inconnues, u, x,y,X, 10. d’un
rayon qui ne soit

pas
moindre

que

la moitié d'AB= 20 décrivez le cercle ABG, inscrivez-y la corde AB=2a, sur laquelle vous prendrez ĀD=a +6, & DB=apar le point D menez une autre corde EG. Et parce que dans l'analogie D, a est plus petit que u,

il faut prendre DG=u plus grand que { ĀB.

A présent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura 2 au - XU = ad, ou, au

aa = Ux ; ainfi nous aurons cette analogie E. u'a :: a.x. On trouvera x en faisant Fig. 60. l'angle CAF, & prenant AF =u, BF =u — a, AC

les paralleles CF & BD menées, donnent DC=x. FIG. 61.

avoir y , menez , à cause de l'analogie B , la ligne À B, sur laquelle vous prendrez AD= a + x ( AK + DC), DB=2. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire DL=y.

DE'FINITIONS. 1. Les points F & G sont nommez les foyers de l’Ellipse; CP, l'abcille , ou coupée , & PM, ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB.

=a,

F16. 58.

аа

aayy

& par

bb

COROLLAIRE I. 2. Il est clair que les lignes FM ,GM menées des foyers à la circonference de l’Ellipse sont , par la description, ensemble égales à l'axe AB, & que PM= Pm.

COROLLAIRE I I. 3. Il est aussi évident que le re&angle des deux parties AF, FB ou AG,GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration precedente l'on a trouvé

CC = CD?. Or aa co=4 + 2 x 4 –c, 4F x FB=CD?.

COROLL AIR E III. 4. ON voit

par les termes de l'équation aa – xx =

les signes + & qui les précedent que x
croissant, y diminue : car plus x devient grande', plus aa
– xx diminue , & par consequent aussi
quantitez constantes aa , & bb demeurent toujours de mê.
me grandeur ; ce qui fait voir que les points M & m de
l’Ellipse, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que
point P s'éloigne de C. On voit aussi que l'on ne peut au-
gmenter x que jusqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel
xx devient = aa

&
par

conse. quent aussi y=0, ce qui fait voir que les points M &m se confondent alors avec les points A & B , & que l’Ellipse coupe l'axe en ces points, comme on a déją remarqué.

COROLLAIRE I V. s. L'EQUATI9 n à l’Ellipse aa – xx=

étant réduire en analogie donne aa – xx ( APX PB :) : yy (PM" :: aa ( AC?). bb (CD') :: 41a ( ABP) 466 ( DE), c'est à-dire que le redangle des deux parties. AP, P B de

yy ; puisque les

le

cas da

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2hb

66

XX =

l'axe A B faites par l'appliquée PM est au quarré de l'appliquée PM: comme le quarré de l'axe AB est au quarré de l'axe conjugué DE.

COROLLAIRE V. 6. Si l'on fait AB ( 20 ). DE (26):: DE (26). 246, la ligne = que je nomme pip sera ( Art. 9.no. 13 ,) le parametre de l'axe. A B. Or puisque a:6::6. įp, l'on a aussi a. į p :: aa . bb ; donc abb į aap ; donc za; C'est pourquoi si l'on met dans l'équation da Cayen, en la place de ce , sa valeur *, l'on

247.; d'où l'on tire cette analogie aa - x* ( AP PB.). yy ( PM2):: 2a ( AB). Þ, c'est-àdire

que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'appliquée, est au quarré de l'appliquée ; comme le mêne axe , est à son parametre.

COROLLA IR E.. VI. 7.

I L fuit du Corollaire précédent que le rectangle de l'axe AB

par
son

parametre est égal au quarré de l'axe conjugué DE ; puisque A B. DE:: DE.p.

COROLLA I RE VII. 8: SI au lieu de

on met un autre raport

aura ad Xx =

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ad

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ou de

bb

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р

myy XXS

j

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égal comme
l'on aura , aa

c'est

pourquoi l'on fera sur l'équation à l'Ellipse les trois remarques suivantes, après avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue.

REM A A QUE I. 9. LORSQU E alantécédent du raport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipse est égal & semblable au terme connu ; ou ce qui est la même chose, cet antécédent renferme les mêmes lettres que

le

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le terme connu de l'équation ; sa racine quarrée exprime. ra le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & la racine quarrée du conséquent exprimera le demi diametre conjugué.

REMARQUE I I. ro. LORSQUE cer antecedent est le double de la racine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties ; & le conséquent exprimera son parametre, REMARQUE

III. N tout autre cas ce raport marque le raport du diametre, dont une partie est exprimée par l'autre inconnue, à son parametre, ou le raport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela est évident (no. 6 & 8).

COROLLA IR E VIII. 12. D'où il suit qu'une équation à l'Ellipse renferme les expressions des deux diametres conjuguez, qui forment le parallelogramme des coordonnées, ou de l'un de ces diametres, & de son parametre, ou la raison du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'un des deux à son parametre : de sorte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguez par le moyen de l'équation.

Par exemple, dans l'équation ad — xx="% le terme F16.58. connu aa est le quarré du demi diametre AC; l'antece. dent aa du raport üt qui accompagne yy est semblable & égal au terme connu aa ; c'est pourquoi le conséquent bb est le quarré du demi diametre conjugé CD à l'axe ou au diametre principal. AC. Dans l'équation aa - xx

2009, l'antecedent 2a étant double de la racine du terme connu da; za sera le diametre AB, & fon

parametre:& partant, si l'on fait 2a. p :: aa. I ap; ap sera

N

P

myy

X;

partant AB

= 22.

l'expression du quarré du demi diametre conjugué CD; & parçant CD=V1 ap. Enfin dans lequation ax - xx=

aa exprime le quarré du demi diametre AC done les parties C P sont nommées & Mais pour avoir l'expression du demi diametre D E conjugué au diametre AB, l'on fera m. n::aa. "m; & partant Vaa= CD, & 2V aa = DE. Et pour avoir l'expression du parametre du diametre AB, l'on fera m. n :: 2a. comm, & cette quantité zam sera l'expression cherchée.

COROLLA LA E I X. F 16.58. 13. Si l'on nomme AP, *; BP sera, zà - x, & l'on

aura (no. 5.) 2ax — xx (AP * P.B). yy (PM) :: aa
(AC). bb (CD'); donc zax - xx="%, qui montre
que lorsque les indéterminées n'ont poinc leur origine
au centre de l’Ellipse, il se trouve des seconds termes
dans son équation , & qu'une équation locale appartien-
dra toujours à l'Ellipse , lorsqu'elle renfermera deux quar.
rez inconnus, l'un desquels ou tous deux seront accom-
pagnez de quelque quantité connue , & auront differens
signes dans les deux membres de l'équation, ou même
figne dans le même membre, quelque mélange de con-
stantes qu'il s'y rencontre , & pourvu que les deux incon.
nues ne soient point multipliées l'une par l'autre.

COROLLAIRE X.
14. Si dans l'équation à l’Ellipse' aa — xx=
xx

ayta=b, l'on aura aa – xx = yy ou 2ax — xx=yy; qui est une équation au cercle , pourvû que les coordonnées * & y fassent un angle droit : car l'une & l'autre de ces deux équations donne A P R P B = PM qui est la principale propriété du cercle. D'où l'on voit aussi que l'équation à l'Ellipse ne différe de celle du cercle , qu'en ce que l'un des quarrez inconnus est accompagné de quelque quantité connue dans l'équation

dayy

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OLL

bb

2 ax

!

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