Cela fait, on verra d'abord que, puisque 432 n'eft point compris dans les trois premiers chiffres du dividende, ce doit être un multiple de ce nombre qui fera compris dans les quatre premiers, fçavoir, 1492. Pour le trouver, il fuffira de jetter les yeux fur la table, & l'on verra que le multiple de 432 le plus prochainement moindre, eft 1296: on écrira donc 3 au quotient, & 1296 fous 1492; on fera la fouftraction, & il reftera 196: on abaiffera le chiffre fuivant du dividende, ce qui donnera 1969. L'infpection feule de la table fera encore connoître que 1728 eft le plus grand multiple de 432 qui foit contenu dans 1969. Ainfi l'on écrira 4 au quotient, & l'on fera la fouftraction comme ci-deffus. On continuera ainfi l'opération, & l'on trouvera pour les chiffres fuivants du quo→ tient, 5 & 6; & comme le dernier multiple ne laiffe aucun refte, la divifion fera exacte & parfaite.

REMARQUE.

ON ne s'eft pas borné à tâcher de fimplifier les opérations de l'arithmétique par ces voies; on a tenté quelque chofe de plus, & de réduire à une pure méchanique toutes les opérations de l'arithmétique. Le célebre Pascal a le premier imaginé une machine de cette efpece, dont on voit la description dans le Recueil des Machines présentées à l'Académie, T. IV. Le chevalier Morland, fans fçavoir probablement ce que Pafcal avoit fait à cet égard, publia en 1673 fes deux machines arithmétiques, l'une pour l'addition & la fouftraction, & l'autre pour la multiplication, fans néanmoins dévoiler la conftruction intérieure. Le célebre Leibnitz s'occupa du même objet vers le Tome I.

B

Pl. 2. bis,

fig. 1.

même temps, & enfuite le marquis Poleni. On voit la defcription de leurs machines arithmétiques dans le Theatrum arithm. de M. Leupold, imprimé en 1727, avec celle de M. Leupold luimême, & dans les Mifcell. Berol. de 1709. On a auffi l'Abaque rabdologique de M. Perrault, dans le recueil de fes machines, donné en 1700. Il fert pour l'addition, la fouftraction & la multiplication. Le Recueil des Machines présentées à l'Académie royale des Sciences, offre encore une machine arithmétique de M. Lefpine, & trois de M. de Boiftiffandeau. Enfin M. Gerften, profeffeur de mathématiques de Gieffen, a donné en 1735, à la Société royale de Londres, la defcription très-détaillée de fa machine propre. Nous nous bornerons ici à ces indications. Cependant nous croyons faire plaifir aux curieux d'indiquer, dans le paragraphe qui fuit, une arithmétique ingénieufe, inventée par M. Saunderfon, célebre mathématicien, aveugle dès fon enfance.

S. V.

Arithmétique palpable ou maniere de pratiquer l'Arihmétique à l'ufage des aveugles, ou dans L'obscurité.

Ceci paroîtra fans doute au premier abord un paradoxe, mais ce n'en eft pas moins une réalité; & cette arithmétique étoit pratiquée par le fameux docteur Saunderson, devenu aveugle à l'âge d'un an; ce qui ne l'empêcha pas de faire des progrès profonds dans les mathématiques, & de remplir avec l'admiration de tout le monde une chaire dans l'univerfité de Cambridge.

Soit un quarré ABCD, divifé en quatre autres

quarrés par deux lignes paralleles aux côtés, lef quelles s'entrecoupent au centre. Ces deux lignes donnent encore, avec les côtés du quarré, quatre interfections; ce qui, joint aux quatre angles du quarré primitif, donne neuf points. Que chacun de ces points préfente un trou dans lequel on puiffe ficher ou une épingle, ou une cheville: il eft évident qu'on aura neuf places diftinctes pour les neuf chiffres fimples & fignificatifs de notre arithmétique, & il n'y aura qu'à convenir d'un ordre dans lequel on comptera ces points ou places de l'épingle ou cheville mobile. Ainfi, pour marquer 1, on la placera au centre; pour fignifier 2, on la mettra immédiatement au deffus du centre en montant; à l'angle fupérieur à droite, pour fignifier 3; & ainfi de fuite, comme le marquent les nombres appofés à chacun de ces points.

Mais il y a un caractere qui joue un très-grand rôle dans notre arithmétique, fçavoir, le zéro. Il y auroit un parti fort fimple à prendre, celui de laiffer toutes les places vuides, & le zéro feroit fignifié par-là; toutefois Saunderfon préféroit de placer dans la cafe du milieu une épingle à groffe tête: il l'y laiffoit même, à moins qu'ayant l'unité à exprimer, il ne fût obligé de la remplacer par une épingle à petite tête. Il en réfultoit pour lui l'avantage de mieux guider fes mains, & de reconnoître plus facilement, par la pofition des épingles à petite tête à l'égard de la groffe épingle centrale, ce que ces premieres fignifioient. On doit s'y tenir, car Saunderfon avoit sûrement choifi le moyen le plus fignificatif à fes doigts.

Nous venons de voir comment on peut exprimer un nombre fimple; rien de fi facile. Il ne l'eft pas moins d'exprimer un nombre compofé; car, fup

1

pofons plufieurs quarrés tels que le précédent, ran gés fur une même ligne, & féparés par un petit intervalle, pour pouvoir les diftinguer facilement par le tact: il ne faut qu'être au fait de l'arithmétique vulgaire, pour voir que le premier quarré à droite fervira à exprimer les unités; le fuivant, en reculant vers la gauche, servira aux dixaines; le Pl. 2. bis. troifieme aux centaines, &c. Ainfi, dans la fig. 2, fig. 2. les cinq quarrés garnis comme l'on voit, représenteront le nombre 54023.

Ayez enfin une tablette divifée en plufieurs bandes horizontales, dont chacune portera fept ou huit quarrés femblables, fuivant le befoin; que ces bandes foient féparées par un intervalle convenable pour les mieux diftinguer; enfin, que tous les quarrés du même ordre, dans chacune de ces bandes, foient tellement efpacés qu'ils fe répondent perpendiculairement les uns aux autres; vous pourrez, par le moyen de cette machine, faire les diverfes opérations d'arithmétique. On s'eft borné ici à repréfenter une addition de quatre nombres, & leur fomme, fuivant les deux manieres.

Cette machine ingénieufe ne fervoit pas feulement à Saunderfon pour les opérations de l'arithmétique; il s'en fervoit auffi à représenter des figures de géométrie, en plaçant fes épingles, & tendant des filets de l'une à l'autre. Mais en voilà affez fur ce fujet. Ceux à qui ceci ne fuffiroit pas, n'ont qu'à confulter l'Algebre de Saunderfon, traduite par M. de Joncourt en 1756, & qui fe débite chez Jombert; ou la traduction des Eléments abrégés de Wolf, où cette arithmétique palpable eft expliquée au long, & peut-être pas plus clairement qu'ici..

PROBLEM E.

Multiplier J'AI vu propofer ce problême par un arithméticien juré. C'étoit l'épreuve à laquelle il mettoit la capacité d'un jeune homme qu'on lui annonçoit comme poffédant bien l'arithmétique. Il avoit raifon, quoique peut-être il n'en fentît pas la difficulté car ce problême, indépendamment de l'embarras qui réfulte de la multiplication de quantités de diverfes efpeces & de leurs réductions, eft propre à éprouver l'intelligence d'un arithméticien,

f. 11 den, par 11 l. 11 f. 14 d.

On eût pu en effet peut-être embarrasser, par une queftion fort fimple, celui qui propofoit cette opération : c'eût été en demandant quelle nature de produit étoit celle de livres, fous & deniers multipliés par des livres, fous & deniers. Nous fçavons que celui d'une toife par une toife eft repréfenté par une toife quarrée, parcequ'on eft convenu en géométrie d'appeller toife quarrée, la furface quarrée ayant une toife de hauteur fur une toife de bafe; & 6 toifes par 4 donnent 24 toifes quarrées, parceque la furface rectangle ayant fix toifes fur quatre, contient 24 toifes quarrées, comme le produit de 4 par 6 contient 24 unités. Mais qui dira ce que c'eft que le produit d'un fou par un fou, d'un fou par une livre, &c?

La queftion confidérée fous cet afpect est donc abfurde; ce que ne fent pas le vulgaire des arithméticiens.

On peut néanmoins la confidérer fous divers points de vue qui la rendent fufceptible de folution, Le premier eft de faire attention que la livre