cine quarrée 6. sera la valeur du Sinus droit chers ché EH.

PROPOSITION VII.

THEORE M E.

A

te

La tangente d'un arc est au rayon, comme le. Sinus
droit de cet arc, est au Sinus droit

de son complement.
U
quart

de Cercle ADC, soit DE tangen

de l'arc DF, dont FG est le Sinus droit, & soit FB Sinus droit de son complement FC ; je dis qu'il y a même raison de la tangente DE au

rayon DĂ, que de FG à FB, ou à GA son égale. Fig. 8. Pour le prouver. Aux deux triangles EDA, FGA,

les deux angles G, & D sont droits & égaux, & l'angle A commun ; partant ces deux triangles sont équiangles, , & ont les côtez au tour des angles égaux G, & D, proportionnaux ; c'est-à-dire que comme ED est à DA, ainsi FG est à GA, ou á FB son égale.

On peut convertir ainsi cette proposition, en disant qu'il y a même raison de FB, Sinus d'un árc donné à FG Sinus de son complement , qu'il y a du rayon AD, à la tangente de ce même complement DE.

COROLL A I'R E.

Etant donc donné le Sinus droit d'un arc , & celui de son complement, avec le rayon , on trouvera la tangente de ce même complement ; car puisque ces quatre choses font proportionnelles, il

tipliez l'un par l'autre, & le produit divisé par Fig. i l'extrême connu, il viendra l'autre extrême cherché.

Soit, par exemple AG, ou son égal FB 6. FG 8. AD 10. DE sera 13. & §, ou 5. Car 8. multiplié par 10. font 80. lesquels divi sez par 6. vient 13. 3 ou s pour la tangente cherchée.

PROPOSITION VIII.

THE ORE ME.

Le rayon eft moyen proportionnel entre la tangente

d'un arc , o la tangente de son complemeni. S

Oit ici la ligne DF tangente de l'arc DC, & Fig. 9.

BE tangente de son complement CB; je dis que comme DF est au rayon AD; ainsi le

rayon AD, bu AB est à la tangente BE.

Pour le prouver. Du point F, foit menée FG, parallelle à AD qui lui sera égale , puisque ce font ses côrez opposez du parallelogramme GD.

Maintenant aux deux triangles ABE, AGF les deux angles G & B sont droits & égaux, & l'angle A commun, partant ces deux triangles sont équiangles , & ont les côtez au tour des angles égaux GĎ, proportionnaux; c'est-à-dire , que comme AG, ou DF son égale , est à GE, ou à son égale AD; ainsi A B ou son égale AD, eft à BE, C. Q: F. D.

COROLLAIRE.

Erant donc donnée la tangente d'un arc , avec fon rayon , on trouvera la tangente de son complemer , par exemple.

puisque DF eft à AD, comme AD està BE; lion multiplie AD 10. quarrément, & que l'on divise le produit 100. par DF 8. le Quotient sera 12 { qui fera la tangente cherchée.

PROPOSITION IX.

THEOREME.

Le rayon eft moyen proportionnel entre le Sinus droit Fig. 12.

d'un arc , la fecante de son complément.

Oit CB Sinus droit de l'arc GC, & AE secanS

te de son complément CD; je dis que le rayon AC, ou AD est moyen proportionnel entre BC & AE ; c'est-à-dire que comme BC est à AC, ainsi AC eft. á AE.

Pour le prouver. Aux deux triangles EAD, CAF, les deux angles F & D sont droits & égaux, & l'angle A commun, & partant ces deux triangles sont équiangles , & ont les côtez au tour de l'angle commun A, proportionnaux. C'est-à-dire que comme AF, ou BC son égale, eft à AC, ainsi AC, ou AD son égale est à AE. C. Q.F. 1).

Fig. 12. Le Sinus droit d'un arc étant donné, avec le

rayon, on trouvera la secante de son complement; car puisqu'il y a même raison du Sinus droit de cet arc, au rayon, que du rayon, à la secante de son complément; le quarré du rayon étant divisé par le Sinus droit connu , il viendra la fecante que l'on cherche; ainfi fi AF, ou BC son égale , eft 6. & le rayon AC 10. la secante AE sera 16. j.

COROLL AIRE II

Etant donné le Sinus droit d'un arc, avec le rayon, on trouvera la secante de cet arc; car le Sinus droit d'un arc étant donné, on trouve le Sinus droit de son complément (par le Coroll. de la 2.) ensuite dequoi il ne faut que se servir du raje sonnement précedent;& l'appliquer à ce Sinus ; car il y a même raison du Sinus droit du complément au rayon , que du rayon à la secante de l'arc donné.

SECONDE PARTI E.

De la construction des Tables des Sinusa

des Tangentes, & des Secantes.

PROPOSITION FONDAMENTALE

De la maniere de construire les Tables des Sinus.

&

S

Upposé ce qui a été démontré en la premiere

partie, prenant certaines choses pour accordées , qui ont été prouvées dans les Elemens d'Euclide, la chose n'est pas fi difficile qu'elle paroît d'abord.

Le diametre du Cercle est supposé valoir 200000 parties par quelques-uns , & par d'autres plus ou moins ; mais nous nous tenons à cette division come mune, qui est de 200000. sur ce pied.

Le côté de l'exagone inscrit au Cercle vaut 100000. Car il est égal au rayon du Cercle (par la is. du 4. )

Le côté du triangle équilateral inscrit au Cercle, vaut 173205. Car le quarré d'un tel triangle est égal à trois fois le quarré du rayon ( par la 12. du 13. ) de sorte que si l'on prend trois fois le quarré de 100000.& que de la somme on prenne la racine quarrée, ce sera la valeur du côté de ce triangle. Le côté du quarré inscrit au Cercle, vaut 141421.

par la 6. du 4. ) le côté du quarré inscrit au

Car