la facilité du calcul, en ajoûtant un certain nom→ bre de zeros à chaque terme de la progreffion Arithmetique, plus ou moins, felon que l'on voudra avoir des Logarithmes plus ou moins exacts, comme vous voyez ici. Ainfi nous fuppoferons que le Logarithme de 10 eft 1. 0000000, que le Logarithme 100 eft 2. 0000000, de 1000 est 3.0000000 &c. enfuite de quoi il faut trouver les Logarithmes des nombres moyens 2, 3, 4, 5: &c. ce que nous ferons aprés avoir expliqué la nature, & les proprietez des Logarithmes dans les Propofitions fuivantes.

E

D.... D

C

PROPOSITION I.

De quatre quantitez en proportian Arithme tique, la fomme des deux extrêmes eft égale à la fomme de deux moyennes.

S

I les

quarte quantitez AB,AC,AD,AE, font en proportion Arithmetique, en forte que l'excez BC de la feconde AC, fur la premiere AB, foit égal à l'excez BB DE, de la quatriéme AE fur la troifiéme AD; je dis que la fomme de AB, de AE des deux extrêmes eft égale à la fomme de AC, & de AD des deux moyennes, parce que chacune eft compofée de choses égales, comme il eft aisé de voir.

A A

PROPOSITION II.

De trois quantitez en proportion Arithmetique, la fomme des deux extrêmes eft égale au double de la moyenne,

Ette Propofition eft up Corollaire de la préce

Cdente; car quand on a trois quantitez Arith

metiquement proportionnelles, c'eft comme l'on en avoit quatre, dont les deux moyennes fuffent égales, & alors la fomme des deux extrêmes eft (par la Propofition précedente) égale à la fomme des deux moyennes, c'eft-à-dire au double de la moyenne. C. Q. F. D.

PROPOSITION III.

La fomme des Logarithmes de deux nombres entiers eft égale au Logarithme de leur produit, lorfque le Logarithme de l'unité eft o.

P Ropofons, , par exemple, les deux nombres entiers 4, 6, dont le produit eft 24; je dis que le Logarithme de 24, eft égal à la fomme des Logarithmes de 4. & de 6. le Logarithme de l'unité étant o. Car puifque 24. eft le produit de 4. & de 6, ces quatre nombres 1,4,6, 24, feront en proportion Geométique, c'eft pourquoi leurs Logarithmes feront en proportion Arithmetique, & (par la 1.) la fomme des deux extrêmes, c'eftà dire la fomme des Logarithmes de 1 & de 24. fera égale à la fomme des deux moyennes, ou à la fomme des Logarithmes de 4. & de 6; & parce qu'on fuppofe que le Logarithme de 1. eft o, le feul Logarithme de 24 fera égal à la fomme des Logarithmes de 4. & de 6, qui produisent 24. C. Q. F. D.

I

C,

PROPOSITION IV.

La difference des Logarithmes de deux nombres entiers eft égale au Logarithme de leur quotient, lorfque le Logarithme de l'unité efto.

P Ropofons, par exemple, les deux nombres

entiers 6, 24, dont le quotient eft 4 ; je dis que le Logarithme de 4 eft égal à la difference des Logarithmes de 6 & de 24, le Logarithme de l'unité étant o. Car puifque divifant 24 par 6, il vient 4. ces quatre nombres 1, 4,6, 24, feront en proportion Geometique, & leurs Logarithmes en proportion Arithmetique, & l'on connoîtra comme auparavant, que le Logarithme de 24 est égal à la fomme des Logarithmes de 6 & de 4: c'est pourquoi fi du Logarithme de 24, on ôte le Logarithme de 6, la difference fera le Logarithme 4. C, Q. F. D.

PROPOSITION V.

Le Logarithme d'un nombre, eft la moitié du Loga rithme de fon quarré, & le tiers du Logarithme de fon cube, lorfque le Logarithme de l'unité eft o.

P

Ropofons , par exemple, le nombre 6, dont le quarré eft 36, & le cube eft 216; je dis premierement que le Logarithme de 6 n'est que la moitié du Logarithme de fon quarré 36. Car puifque le quarré 36. eft le produit de 6 par 6, fon Logarithme fera égal à la fomme des Logarithmes de 6 & de 6, c'est-à-dire au double du Logarithme de 6 par la 1.) d'où il fuit que le Loga( rithme de 6. eft la moitié du Logarithme de fon

Je dis en fecond lieu que le Logarithme de 6 eft le tiers du Logarithme de fon cube 216. Car puifque 216 eft le produit de 6 & de fon quarré 36, fon Logarithme fera (par la 1.) égal à la fomme des Logarithmes de 6 & de 36, c'eft-à-dire au triple du Logarithme de 6, parce que le Logarithme de 36 a été demontré double du Logarithme de 6. D'où il fuit que le Logarithme de 6, n'eft que le tiers du Logarithme de fon cube 216. ce qui ref

toir à démontrer.

Trouver entre deux nombres donnez un moyen Geome➡ trique proportionnel.

S donnez, on aura par 20. 7. le quarré du moyen; Ꮪ

I on multiplie enfemble les deux nombres

par

c'eft pourquoi fi on prend la racine quarrée de ce produit, on aura le moyen qu'on cherche. D'où il fuit que fi l'un des deux nombres donnez eft l'unité, il n'y a qu'à prendre la racine quarrée de l'autre, pour avoir le moyen proportionnel qu'on

demande.

PROPOSITION V II,

Entre deux nombres donnez trouver un moyen pro portionnel arithmetique.

S

I on ajoûte enfemble les deux nombres donnez, ou aura (par la 2. ) le double du moyen ; c'eft pourquoi fi on prend la moitié de cette fomme, on dura le moyen qu'on cherche. D'où il fuit que quand l'un des deux nombres donnez eft o, il n'y a qu'à prendre la moitié de l'autre, pour avoir

P

PROPOSITION VIII.

Trouver le Logarithme d'un nombre propose.

Our trouver le Logarithme d'un nombre donné, comme de 9, qui eft entre 1 & 10, dont. on connoît les Logarithmes o. ooooooo, I. 0000000, ou 0. 00000000,1. 00000000 en les augmentant chacun d'un zéro, pour avoir plus exactement le Logarithme qu'on cherche, à caufe des fractions qui restent aprés la derniere figure; augmentez auffi les deux nombres 1, 10, & tous les autres de la progreffion Geométrique, d'autant de zéros que leurs Logarithmes en contiennent, comme ici de fept zéros, pour avoir exactement dans le même nombre de figures le Logarithme du nombre propofé 9, qui alors vaudra autant que 9, ooooooo, comme 1. vaut autant que 1. c0000Q0, que nous appellerons A, & 10, autant que 10. ooooooo que nous appellerons B: & faites ainfi.

que

Cherchez (par la 6. ) entre A & B un moyen Geometique proportionnel C, qui eft moindre le nombre propofé 9. 0000000; C'est pourquoi pour approcher davantage de ce nombre 9, il faudra chercher entre les deux plus proches B & C, un fecond moyen proportionnel D, qui étant encore moindre que le nombre propofé 9.0000000, & plus proche que le nombre trouvé C, on fe cherchera entre ce plus proche C, & le plus grand B, un troifiéme moyen proportionnel D, qui étant encore moindre que nombre propofé 9. 0000000, on cherchera pareillemen tentre ce plus proche D, & le plus grand B, un quatriéme moyen proportionnel E, qui eft encore moindre que le propofé