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la facilité du calcul, en ajoûtant un certain nom bre de zeros à chaque terme de la progression Arithmetique , plas ou moins , selon que l'on voudra avoir des Logarithmes plus ou moins exacts comme vous voyez ici. Ainsi nous supposerons que le Logarithme de 10 est 1. 0000000 , que le Logarithme 100 est 2. 0000000, de 1000 est

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0000000 , &c. ensuite de quoi il faut trouver les Logarithmes des nombres moyens 2 , 3 , 4,5: &c. ce que nous ferons aprés avoir expliqué la nature, & les proprietez des Logarithmes dans les Propositions suivantes.

E

PROPOSITION 1.

De

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quatre quan itex, en proportian ArithmeD.... D tique, la somme des deux extrêmes eft

égale à la fomme de deux moyennes. À

I les quarte quantitez AB,AC,AD,AE, C

sorte que l'excez BC de la seconde AC,

sur la premiere AB, soit égal à l'excez BB DE, de la quatrieme AE sur la troisiéme

AD; je dis que la somme de AB, de AE

des deux extrêmes est égale à la somme A A

de AC, & de AD des deux moyennes ,

parce que chacune est composée de choses égales, comme il est aisé de voir.

PROPOSITION II.

De trois quantitez en proportion Arithmetique, la fomme des deux extrêmes est égale au double de la moyenne, C a

metiquement proportionnelles, c'est comme lí l'on en avoir quatre, dont les deux moyennes fulsent égales, & alors la somme des deux extrêmes est (par la Proposition précedente ) égale à la fomme des deux moyennes , c'est-à-dire au double de la moyenne. C. Q. F. D.

PROPOSITION III,

La fomme des Logarithmes de deux nombres entiers eft égale au Logarithme de leur produit , lorsque le Logarithme de l'unité esto.

par exemple, les deux entiers 4, 6, dont le produit est 24; je

dis

que le Logarithme de 24, est égal à la somme des Logarithmes de 4. & de 6. le Logarithme de l'unité étant o. Car puisque 24. est le produit de 4. & de 6 , ces quatre nombres I, 4,6, 24 , seront en proportion Geométique, c'est pourquoi leurs Logarithmes seront en proportion Arithmetique (par la 1. ) la somme des deux extrêmes, c'està dire la somme des Logarithmes de 1 & de 24. sera égale à la somme des deux moyennes , ou à la famme des Logarithmes de 4. & de 6; & parce qu'on suppose que le Logarithme de 1. eft o, le seul Logarithme de 24 sera égal à la somme des Logarithmes de

4.

& de 6, qui produisent 24. C, R. F. D.

1

PROPOSITION IV.

La difference des Logarithmes de deux nombres entiers eft égale au Logarithine de leur quotient, lorf

que le Logarithme de l'unité efto. P

Roposons, , par exemple, les deux nombres

entiers 6, 24, dont le quotient eft 4 ; je dis que le Logarithme de 4 et égal à la difference des Logarithmes de 6 & de 24 , le Logarithme de l'unité étant o. Car puisque divisant 24 par 6, il vient 4. ces quatre nombres 1, 4,6, 24, feront en proportion Geometique , & leurs Logarithmes en proportion Arithmetique, & l'on connoîtra comme auparavant, que le Logarithme de 24 est égal à la somme des Logarithmes de 6 & de 4: c'est pourquoi fi du Logarithme de 24', on ôte le Logarithme de 6, la difference fera le Logarithme 4. Gg R. F. D.

PROPOSITION V.

Le Logarithme d'un nombre, est la moitié du Loga

rithme de son quarré, & le tiers du Logarithme de Son cube , lorsque le Logarithme de l'unité est o.

donc P 6

le quarré eft 36, & le cube est 216; je dis premierement que le Logarithme de 6 n'est que

la moitié du Logarithme de son quarré 36. Car puifque le quarré 36. est le produit de 6 par 6, fon Logarithme sera égal à la somme des Logarithmes de 6 & de 6, c'est-à-dire au double du Logarithme de 6( par la 1.) d'où il suit que le Logarithme de 6. est la moitié du Logarithme de som

nez , ou aura (par la 2. ) le double du

Je dis en second lieu que le Logarithme de 6 eft le tiers du Logarithme de son cube 216. Car puisque

216 est le produit de 6.& de son quarré 36, fon Logarithme sera (par la 1. ) égal à la fomime des Logarithmes de 6 & de 36, c'est-à-dire au triple du Logarithme de 6 , parce que le Logarithme de 36 a été demontré double du Logarithme de 6. D'où il suit que le Logarithme de 6 , n'est que le tiers du Logarithme de son cube 216. ce qui ress toir à démontrer.

PROPOSITION VI. Trouver entre deux nombres donnez un moyen Geome

trique proportionnel. S

I on multiplie ensemble les deux nombres

donnez, on aura par 20.7. le quarré du moyen; c'est pourquoi fi on prend la racine quarrée de ce produit , on aura le moyen qu'on cherche. D'où il suit

que

si l'un des deux nombres donnez est l'un nité, il n'y a qu'à prendre la racine quarrée de l'autre, pour avoir le moyen proportionnel qu'on demande.

PROPOSITION VII, Entre deux nombres donnez trouver un moyen pram

portionnel arithmetique. I on ajoûte ensemble les deux nombres don

moyen i c'est pourquoi si on prend la moitié de cette somme , on dura le moyen qu'on cherche. D'où il suit que quand l'un des deux nombres donnez est o, il n'y a qu'à prendre la moitié de l'autre , pour avoir

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I.

Trouver le Logarithme d'un nombre proposé.
Our trouver le Logarithme d'un nombre don-

, dont on connoît les Logarithmes 0. 0000000 , 0000000 ,OU O. 00000000,1. 00000000 en les

augmentant chacun d'un zéro, pour avoir plus exactement le Logarithme qu'on cherche , à cause des fractions qui restent aprés la derniere figure; augmentez aussi les deux nombres 1,10 , & tous les autres de la progresion Geométrique, d'autanc de zéros que leurs Logarithmes en contiennent , comme ici de sept zéros , pour avoir exactement dans le même nombre de figures le Logarithme du nombre proposé 9 , qui alors vaudra autant que 9, 0000000, comme 1. vaut autant que 1. 0000000 , que nous appellerons A, & 10, autant que 10. 0000000 que nous appellerons B : & faites ainsi.

Cherchez ( par la 6. ). entre A & B un moyen Geometique proportionnel C , qui est moindre que le nombre proposé 9. 0000000 ; C'est pourquoi pour approcher davantage de ce nombre 9, il faudra chercher entre les deux plus proches B &C, un second moyen proportionnel D, qui étant encore moindre que le nombre proposé 9.0000090 , & plus proche que le nombre trouvé C, on se cherchera entre ce plus proche C,& le plus grand B , un troisiéme moyen proportionnel D, qui étant encore moindre que nombre propofé 9. 0000000, on cherchera pareillemen tentre ce plus proche D, & le plus grand B, un quatriéme moyen proportionnel E, qui est encore moindre que le proposé

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