la ligne droite FH qui eft Sinus droit de larc FB; Fig. 1. l'eft auffi de fon arc de fupplément FIA, ou de l'angle FCA dont cet arc eft la mesure; ce qui eft évident par la définition du Sinus droit.

X. Sinus verfe d'un arc, ou de l'angle dont cet arc eft la mesure, eft la partie du diametre comprife entre le Sinus droit, & l'extremité de cet arc. Ainfi la ligne droite, ou partie du diametre HB, eft Sinus verfe de l'arc FB, ou de l'angle FCB dont cet arc eft la mefure; & la ligne LI eft aufA Sinus verfe de l'arc FI.

REMAR QUE.

Le Sinus verfe d'un arc étant joint au Sinus verfe de fon fupplément au demi Cercle, égale toûjours le diametre; ainfi la ligne BH qui eft Sinus verfe de l'arc BF, étant jointe à la ligne HA qui eft Sinus verfe du fupplément FIA, égale le diaFig. 1. metre AB.

XI. Tangente d'un arc, ou de l'angle que cet arc mefure, eft la ligne droite élevée perpendiculairement au bout du diametre, lequel paffe à l'une des extremitez de cet arc, prolongée jufqu'à ce qu'elle rencontre le rayon du centre, qui paffant par l'autre extremité du même arc, eft auffi prolongée; ainfi la ligne BE qui eft perpendiculaire à l'extremité B du diametre AB, & prolongée jufqu'à ce qu'elle rencontre le rayon CF, prolongé qui paffe à l'autre extremité F du même arc, eft la tangente de l'arc FB, ou de l'angle FCB, dont il eft la mesure.

XII. Secante d'un arc, ou de l'angle que cet arc mesure, eft le rayon ou demi diametre qui paffant à l'une des extremitez de l'arc, va étant

ou rayon CE, qui paffe par l'extremité F, va étant prolongée rencontrer la tangente au point E, c'eft Fig. 1. la fecaute de l'arc BF.

REMAR QUE.

Le Sinus total, ou Sinus de l'angle droit. eft "toûjours un demi diamettre. Ainfi le rayon 1C eft Sinus droit de l'angle droit ICB, ou bien de ICA.

P.DC

PREMIERE PARTIE.

DE LA CONSTRUCTION

DES TABLES.

Prés avoir défini ce que c'eft que Sinus, Tan

A gente & Secante: nous dirons que les GeoΑ

metres, qui les premiers ont connu l'utilité des Sinus, ont divifé le rayon en 60. parties égales, & chaque partie en 6o. autres parties plus petites qu'ils ont appellées minutes. C'est là deffus qu'ils ont calculé des Tables, pour fçavoir la valeur de tous les Sinus des angles depuis une minute jufqu'à 90. degrez, pour pouvoir connoître par exemple la valeur du Sinus d'un angle de 54. degrez 30. minutes, ou de 86. degrez 18. minutes, en un mot toute forte d'angles. Mais les Geometres. modernes ayant reconu que les operations que l'on faifoit par le moyen de ces Tables, n'étoient pas affez précises, afin d'éviter ce défaut, ont calculé d'autres Tables dont le Sinus total, ou le rayon du Cercle eft fuppofé de 100000. parties, & même de Icoooooo. C'eft la conftruction de ces Tables que nous allons enfeigner en peu de mots, & par les voyes les plus aifées dans la premiere & feconde partie de ce Traité.

PROPOSITION I

THEOREM E.

La foutendante d'un arc eft double du Sinus de la moitié du même arc.

A ligne BC foutendante de l'arc BDC eft dou- Fig. 1. ble du Sinus de l'arc BD, qui en eft la moitié ; car le rayon AD divifant BC en deux également, la coupera auffi perpendiculairement ( (par la 3. du 3.) donc BE fera Sinus de l'arc BD; mais BC eft double de BE, & l'arc BDC eft double de BD; donc BC fera dopble du Sinus d'un angle qui fera la moitié de celui dont elle eft la fou tendante.

COROLLAIRE.

Il s'enfuit de là que la foutendante d'un arc étant connue, l'on aura le Sinus d'un arc qui fera la moitié de l'arc propofé; ainfi la foutendante d'un arc de 6o. degrez, qui eft égal au rayon du Cercle, étant donné à fçavoir 100000. le Sinus de trente degrez fera 50000.

Fig. 3.

PROPOSITION II.

THEOREME.

Le quarré du Sinus droit d'un arc, avec le quarré
du Sinus droit de fon complement, font égaux
au quarré du rayon.

A

U quart de Cercle BC, dont le rayon eft AD, foit DF Sinus de l'arc DC, & DE Sinus de fon complement BD, je dis que les quarrez de ces deux Sinus DF, DE font égaux au quarré du rayon AD.

Car puifque BC eft un quart de Cercle, CA eft perpendiculaire à AB; mais DE eft auffi perpendiculaire à AB, par la definition du Sinus; donc DE & CA font paralleles ; & par la même raison BA & DF font auffi paralleles; & partant FE eft un parallelograme, dont le côté DE eft égal à fon oppofé FA; mais le quarré de AD eft égal aux quarrez de DF & de FA, ou de fon égal DE; par confequent le quarré de DF, Sinus droit de l'arc DC, & le quarré de DE Sinus droit de fon complement DB, font égaux au quarré du rayon AD. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

Il s'enfuit de là que le Sinus droit d'un arc étant donné, l'on aura le Sinus droit de fon complement au quart de Cercle; car fi l'on ôte le quarré du Sinus donné, du quarré du rayon, il restera le quarré du Sinus de fon complement, dont la racine quarrée fera le Sinus cherché.