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Si dans un Triangle rectangle, la base est prise pour. le rayon du Cercle , les côtez seront les Sinus

des angles opposez.

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est pris pour le rayon du Cercle , je dis que AB sera le Sinus de l'angle C, & que AC sera le Sinus de l'angle B.

Pour le prouver. Par la définition du Sinus , AB 'est le Sinus de l'arc BD, ou de l'angle C ; de même BE, ou son égal AC, est le Sinus de l'arc BF ou de l'angle BCF; mais l'angle ABC est égal à l'angle BCF; par conséquent le côté AC est le Sinus de l'angle ABC. C. Q.F. D.

COROL L AIRE. I.

Dans un Triangle rectangle la base étant coni nuë , avec un des angles, I'on connoîtra l'autre angle & les côtez.

Soit BC 37. & l'angle ACB 36. degrez, l'angle ABC son complement a 90 degrez sera de

$4 degrez , maintenant le Sinus de 36 degrez est 58779. & le Sinus de 54. degrez eft 80902 ; ensuite de quoi l'on trouvera AB 21.t. ou environ , & AC

Car comme BC, 100000. eft à BC 37. toises; ainsi AB, 58779. eft à AB 21. toises ou environ. De même, comme BC, 100000, est à BC 37. toises, ainsi AC 80902 est à AC 30. toises ou environ.

COROLLAIRE I I.

29. ininutes.

La base étant encore donnée avec l'un des côtez, on connoîtra les deux autres angles & l'autre côtés

Soit encore la base BC 37. t. & le côté connu AB 22. t. on trouvera l'angle ACB de 36, degrez

Car comme BC, 37. t. est à BC, 100000. ainsi AB 22. t. est à AB 59459. Sinus de l'angle ACB qui vaut 36 degrez 29 minutes , & pour le côté AC, on le peut trouver , ou par le précedent Corollaire, à cause que l'angle C étant connu, tous les trois le font avec la base; ou par la 47. du 1,

COROLLAIRE III.

Etant encore donné l'un des côtez avec les angles, on connoîtra la base & l'autre côté.

Soit AC 30. t. & l'angle ABC ss degrez, on trouvera BC 36. toises. Car comme AC Sinus de l'angle ABC, 81915 est à AC 30 toises, ainsi CB 100000 est à CB 36 toises, & pour le côté AB il se peut trouver par le 1. Corol. ou par la 47 du I.

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PROPOSITION I l.

Si dans un Triangle rectangle, l'un des côtex eft pris pour le rayon du Cercle, l'autre côté serà la Tangente de l'angle auquel il est opposé,

la base en sera la Secante:

A
A je

U Triangle rectangle ABC, le côté AC Fig. 10.
étant

rayon que AB est la Tangente de l'angle C, & que CB en est la Secante.

Car aprés avoir du centre C, & de l'intervalle CA, décrit le Cercle ADE, il est évident ( par la définition de la Tangente ) que AB perpendiculaire au rayon est la Tangente de l'arc AD, ou de l' gle C. COROLLAIRE I.

. Etant donc connu , l'un des côtez d'un Triana gle rectangle, avec les angles, l'on connoîtra l'autre côté & la base. Ce Corollaire est une autre maniere de trouver la même chose que ce qui a été trouvé par le Corollaire précedent.

Soit AC 53. toises , & l'angle C 34. degrez s l'on connoîtra le côté AB 36. toises. Car comme AC 100000 est à AC 53. coises , ainsi AB Tangente de l'angle C 67451, eft à AB 36. toises.

De même pour la base CB, comme AC 100000 est à AC 53. toises, ainfi CB Secante de C, 120622 est à CB 63. toises.

COROLL AIRE 11.

Les côtez d'un Triangle rectangle étant connus a en connoîtra les deux autres angles & la base.

Fig. 1).

Au Triangle ADC, le côté AC étant 53. toises, & AB 36. toises, l'on connoîtra premierement la base (par la 47. du 1.) puis on connoîtra l'angle C de 34 degrez 11. minutes. Car comme AC

53•

toises eft à AC 100000. ainsi AB 36. tois. est à AB Tangente de l'angle C67924 dont l'angle vaut 34. degrez 11. minutes.

PROPOSITION II1.
En tout Triangle les côtez sont en même raison que

les Sinus de leurs angles opposez.

A

che 2

Yant fait passer la circonference d'un Cercle Plan

par les sommets des trois angles A, B &C, Fig.16. les trois côtez du Triangle seront des cordes sur lesquelles si on abaisle du centre L, des

perpendiculaires , LG, LH,&LI, elles seront chacunes partagées en deux également aux points D,E,F, ausli bien que les arcs qu'elles foûtiennent. Or l'angle C a pour 'mesure la moitié de l'arc BGA sur lequel il s'appuye ( par la 20 du 3.) mais nous avons dit dans nos définitions , que le Sinus d'un angle étoit la moitié de la corde d'un angle double : cela étant la ligne DB sera donc le Sinus de l'arc GB, ou de l'angle C, par la même raison BE est le Sinus de l'angle A, & CF de l'angle B; mais AB a même raison à la moitié DB, que BC à sa moitié BE : donc en raison alterne AB eft à BC, comme DB Sinus de l'angle C, est à BE Sinus de l'angle A. De même BC fera à CA, comme EC Sinus de l'angle A, eft à CF Sinus de l'angle B. C. Q. F.D.

COROLL AIRE. Plan il fuit de cette Proposition que dans un Triangle che 2. qui n'est pas rectangle, tel que EFG ; si l'on con

EG de 12. toises, l'on connoîtra aisément

par

le moyen de l'angle G de 54. le côté EF qui lui est 'opposé; en faisant cette analogie. Comme le Sinus 68199 de l'angle de 43. degrez est à 12. toifes côté opposé, ainsi 81915 Sinus de $4. degrez eft au côté EF que je cherche , & qui se trouve ici de 14.. toises, & prés d'un tiers. Il est bon de remarquer que dans les Corollaires précedents , auli bien que đans celui-ci , lorsqu'on dit en analogie, comme le Sinus de cet angle là eit à ce côré-ci, ainsi le Sinus de cet angle-ci est à ce côté-là; c'est la même chose

que

fi l'on difoit fi le Sinus de cet angle là m'a donné tant pour son côté opposé, que donnera cet angle-ci pour son côté opposé que je cherche. Ceci est comme vous voyez l'opération de la Regle de Trois.

PROPOSITION IV.

Za fomine des deux côtez inégaux d'un Triangle qui

n'eft pas équilateral , est à leur difference, comme la Tangente de la moitié de la somme des deux angles opposez à ces deux côrez jinégaux, eft à ta Tangente de la moitié de la difference des mêmes 'anglesa

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Fig. 141

E dis

que des deux côrez inégaux AC, BC, du PlanTriangle ABC, la somme est à leur difference , che 24 comme la Tangente de la moitié de la somme des angles A, B opposez à ses deux côrez , est à la Tangente de la moitié de la difference des mêmes angles AB.

Décrivez de l'angle o, compris par les deux côtez AC, BC, dont il eft question , par la pointe de l'un de leurs angles opposez A, B, comme par la pointe B, une circonference de Cercle EBDH.

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