TROISIEME PARTIE. Du calcul des Triangles Rectilignes. PROPOSITION I. Si dans un Triangle rectangle, la bafe eft prife pour le rayon du Cercle, les côtez feront les Sinus A des angles opposez. U Triangle rectangle ABC, fi le côté BC, Fig 10 eft pris pour le rayon du Cercle, je dis que AB fera le Sinus de l'angle C, & que AC fera le Sinus de l'angle B. Pour le prouver. Par la définition du Sinus, AB eft le Sinus de l'arc BD, ou de l'angle C; de même BE, ou fon égal AC, eft le Sinus de l'arc BF ou de l'angle BCF; mais l'angle ABC eft égal à l'angle BCF; par conféquent le côté AC eft le Sinus de l'angle ABC. C. Q.F. D. COROLLAIRE. I. Dans un Triangle rectangle la bafe étant con nuë, avec un des angles, l'on connoîtra l'autre angle & les côtez. Soit BC 37. & l'angle ACB 36. degrez, l'angle ABC fon complement a 90 degrez fera de $4 demaintenant le Sinus de 36 degrez eft 58779. grez, & le Sinus de 54. degrez eft 80902; enfuite de quoi l'on trouvera AB 21. t. ou environ, & AC Car comme BC, 100000. eft à BC 37. toifes ainfi AB, 58779. est à AB 21. toises ou environ. De même, comme BC, 100000, eft à BC 37. toifes, ainfi AC 80902 eft à AC 30. toiles ou environ. COROLLAIRE II. La bafe étant encore donnée avec l'un des côtez; on connoîtra les deux autres angles & l'autre côté Soit encore la base BC 37. t. & le côté connu AB 22. t. on trouvera l'angle ACB de 36, degrez 29. minutes. Car comme BC, 37. t. eft à BC, 100000. ainfi AB 22. t. eft à AB 59459. Sinus de l'angle ACB qui vaut 36 degrez 29 minutes, & pour le côté AC, on le peut trouver, ou par le précedent Corollaire, à caufe que l'angle C étant connu, tous les trois le font avec la bafe; ou par la 47. du 1, COROLLAIRE III. Etant encore donné l'un des côtez avec les angles, on connoîtra la bafe & l'autre côté. Soit AC 30. t. & l'angle ABC 55 degrez, on trouvera BC 36. toiles. Car comme AC Sinus de l'angle ABC, 81915 eft à AC 30 toifes, ainfi CB 100000 eft à CB 36 toifes, & pour le côté AB il fe peut trouver par le 1. Corol. ou par la 47 du 1. PROPOSITION II. Si dans un Triangle rectangle, l'un des côtez eft pris A U Triangle rectangle ABC, le côté AC Fig. 10. étant pris pour le rayon du Cercle; je dis que AB eft la Tangente de l'angle C, & que CB en eft la Secante. 1 Car aprés avoir du centre C, & de l'intervalle CA, décrit le Cercle ADE, il est évident (par la définition de la Tangente) que AB perpendiculaire au rayon eft la Tangente de l'arc AD, ou de l'an gle C. COROLLAIRE I. Etant donc connu, l'un des côtez d'un Trian gle rectangle, avec les angles, l'on connoîtra l'autre côté & la bafe. Ce Corollaire eft une autre maniere de trouver la même chofe que ce qui a été trouvé par le Corollaire précedent. Soit AC 3. toiles, & l'angle C 34. degrez, l'on connoîtra le côté AB 36. toifes. Car comme AC 100000 eft à AC 53. toises, ainfi AB Tangente de l'angle C 67451, eft à AB 36. toifes. De même pour la bafe CB, comme AC 100000 eft à AC 53. toifes, ainfi CB Secante de C, 120622 eft à CB 63. toises. COROLLAIRE II. Les côtez d'un Triangle rectangle étant connus a on connoîtra les deux autres angles & la base. Fig.11. Planche 2. 53. Au Triangle ADC, le côté AC étant toifes, & AB 36. toifes, l'on connoîtra premierement la bafe (par la 47. du 1.) puis on connoîtra l'angle C de 34 degrez 11. minutes. Car comme AC 53. toifes eft à AC 100000. ainfi AB 36. toif. eft à AB Tangente de l'angle C 67924 dont l'angle vaut 34. degrez 11. minutes. PROPOSITION III. En tout Triangle les côtez font en même raison que les Sinus de leurs angles oppofez. A Yant fait paffer la circonference d'un Cercle par les fommets des trois angles A, B & C, Fig.16, les trois côtez du Triangle feront des cordes fur lefquelles fi on abaiffe du centre L, des perpendiculaires, LG, LH, & LI, elles feront chacunes partagées en deux également aux points D, E, F, auffi bien que les arcs qu'elles foûtiennent. Or l'angle C a pour mefure la moitié de l'arc BGA fur lequel il s'appuye ( par la 20 du 3.)mais nous avons dit dans nos définitions, que le Sinus d'un angle étoit la moitié de la corde d'un angle double: cela étant la ligne DB fera donc le Sinus de l'arc GB, ou de l'angle C, par la même raifon BE eft le Sinus de l'angle A, & CF de l'angle B; mais AB a même raison à sa moitié DB, que BC à fa moitié BE: donc en raifon alterne AB eft à BC, comme DB Sinus de l'angle C, eft à BE Sinus de l'angle A. De même BC fera à CA, comme EC Sinus de l'angle A, eft à CF Sinus de l'angle B. C. Q. F.D. Plan che 2. Fig. 18 COROLLAIRE. Il fuit de cette Propofition que dans un Triangle qui n'eft pas rectangle, tel que EFG; fi l'on connoît l'angle F de 43. degrez, qui eft oppofé au côté EG de 12. toifes, l'on connoîtra aifément par le moyen de l'angle G de 54. le côté EF qui lui eft oppofé; en faifant cette analogie. Comme le Sinus 68199 del’angle de 43. degrez efta I2. toifes côté oppofé, ainfi 81915 Sinus de 54. degrez eft au côté EF que je cherche, & qui fe trouve ici de 14.. toifes, & prés d'un tiers. Il eft bon de remarquer que dans les Corollaires précedents, auffi bien que dans celui-ci, lorfqu'on dit en analogie, comme le Sinus de cet angle là eft à ce côté-ci, ainfi le Sinus de cet angle-ci eft à ce côté-là; c'est la même chofe que fi l'on difoit fi le Sinus de cet angle là m'a donné tant pour fon côté oppofé, que donnera cet angle-ci pour fon côté oppofé que je cherche. Ceci eft comme vous voyez l'opération de la Regle de Trois. PROPOSITION IV. La fomme des deux côtez inégaux d'un Triangle qui n'eft pas équilateral, eft à leur difference, comme la Tangente de la moitié de la fomme des deux angles oppofez à ces deux côtez inégaux, eft à la Tangente de la moitié de la difference des mêmes angles. E dis que des deux côtez inégaux AC, BC, du Plan che 2 comme la Tangente de la moitié de la fomme des Fig.144 angles A, B opposez à fès deux côtez, est à la Tangente de la moitié de la difference des mêmes angles AB. Décrivez de l'angle C, compris par les deux côtez AC, BC, dont il eft queftion, par la pointe de l'un de leurs angles oppofez A, B, comme par la pointe B, une circonference de Cercle EBDH. Prolongez l'un des deux mêmes côtez AC, BC, |