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comme AC, de

part & d'autre jusqu'à la circonfe. rence du Cercle aux points D, E, & joignez les droites BD, BE, qui seront perpendiculaires entre elles (par la 31. du 3. ) & alors on connoîtrą aisément que AD est la somme des côtez ĄC, BC; à cause des deux lignes égales BC, CD, &

que AE est la difference des mêmes côrez AC, BC, cause des deux lignes égales BC, CE. Tirez encore du point E, la droite EF parallele à la droite BD, & par conséquent perpendiculaire à la ligne BE (par la 29. du r.) laquelle ligne EF rencontre le troisiéme côté AB prolongé en F. Décrivez encore du point E par le point B, l'arc de Cercle BG, qui (par la 16. du 3 ) sera touché en B par la droite BD , laquelle par conséquent sera la Tangente de cet arc BG, ou de l'angle BED qu'il mesure, à l'égard du Sinus total EB : & du point B par le point E, l'arc EI, qui ( par la 16 du j. ) sera touchée en E, par la droite EF, laquelle par conséquent sera la Tangente de l'arc El ; ou de l'angle AEB qu'il mesure ; & alors on connoîtra ( par la 32. du 1.) que l'angle BCD, est la somme des deux angles A, B, & (par la 20. du 3. ) que l'angle 'BED est la moitié de cette somme ; d'où il suit que la ligne BD est la Tangente de la moitié de la somme des angles A, B, à l'égard du rayon EB, on connoîtra

la du 1 ) que l'angle A surpasse l'angle BE!), du petit angle ABE, & que l'angle B

et surpassé par le même angle BED, ou BEC son Plan- égal ( 'par la s du i ) du même petit angle ABE, the ; & que par conséquent ce perit angle ABE est la Fig. 14. moitié de la difference des deux angles A, B, &

qu’ainsi la Tangenre de la moitié de leur difference est Ef. Je dis donc que la somme des côtez AD, est à leur difference AE, comme la Tangente BD

ausli ( par

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gente EF de la moitié de leur difference.

Parce que les deux lignes DB, EF font paralleles
( par la Construction, les deux angles alternes
BDE, DEF, seront égaux :( par la 29 du 1:) &
parce que les deux angles opposez au fommer
BAD, EAF, sont aussi égaux entr'eux (par
du 1. ) il s'ensuit (par la 32. du 1.) que les deux
Triangles ABD, ABF sont équiangles ; & (par la
4. du 6.) que les quatre lignes AD, AE, BD, EF
sont proportionnelles. C. O. F. D.

la

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COROL I. A IR L..

Il s'ensuit de là que fi deux côtez d'un Triana gle scalene, sont donnez , avec l'angle qui est enfermé

par

fes deux côrez, on trouvera les deux autres angles , & le troisiéme côté , par exemple.

Au Triangle ABC, & le côté AB étant de 45. toises, AC de 30. toises , & l'angle A qui est en- Plana fermé

par ses deux côrez, de 9s.degrez l'angle C. che-2 fera trouvé de 52. degrez 53. minutes. Car en

Fig. 19 ôtant l'angle A qui est connu de 180. degrez , reltera 85. degrez pour la somme des deux angles B, & C.

Or comme la somme des deux côtez AB, AC, 75 toises, est à leur difference 15., toises, ainsi 91633. Tangente de 42. degrez 30. minutes, moitié des deux angles B & C, est à 18326. Tangente d'un autre angle, dont le plus grand angle C, surpasse cette moitié ; mais par les Tables on trouve que 18326. est la Tangente de 10. 23. minutes. Si donc l'on ajoute 10. deg. 23. min. avec 42 degrez 30. minutes, moitié des deux angles, il viendra 52. degrez 53. min. pour le plus grand angle C. D'où il s'ensuit que li l'on ôte ces 10. degrez 23. minutes , de 42. degrez 39, minutes,

il restera 32 degrez 7. minutes pour l'angle B.

Quant au côté BC, il sera trouvé de 56. toises ; car comme 53164. Sinus de l'angle B est à son côté opposé 3 o. toises, ainfi 99619. Sinus de l'angle A, qui est le même que celui de fon complement à deux droits , ou de 8g. degrez est à son côté opposé BC ; 56. toises.

PROPOSITION V.

Si dans un Triangle qui ne soit pas équilateral, on

tire du plus grand angle sur la base une perpendiculaire qui la divise en deux segments inégaux, il y aura même ralfon de cetté base à la somme des deux Autres côtez, que de leur difference, à la difference des fegments,

che 2. Fig: 17.

Jele

Plau E dis

que si du plus grand angle C, du Trians gle ABC, dont les deuz côtez AC, BC, sont inégaux, on tire sur la base AB, la perpendiculaire CF qui la divisera en deux segments aufli inégaux AF, BF: il y a même raison de la bafe AB, à la somme des deux autres côtez AC, BC , que de leur difference à la difference des segments AF, BF. S.

Décrivez comme auparavant de l'angle C,à l'intervalle de l'un des deux côtez AC, BC, comme du plus-grand BC, une circonference de Cercle BEGD;& prolongés l'autre côté AC, & la base AB, jufqu'à la circonference du Cercle aux points D, -E, G; &vous aurez AD pour la somme des côtez AC, BC, à cause des lignes égales BC, CD:

AE pour la difference des mêmes côtez'AC, BC, à cause des lignes égales BC, CE : & AG pour

la difference des segments AFI, BF à cause des lignes

la base AB eft à la somme des côtez AD, comme leur difference AE, est la difference AG, des seg

ments.

Parce le rectangle sous les lignes AB, AG eft égal au rectangle des lignes AD, AE (

par
la

35: du 3.) il s'ensuit ( par

la

14 du 6. ) que les quatre lignes AB, AD, AE, AG sont proportionnelles. C.O.F. D.

COROLLA I R E.

Etant donc connus les côtez d'un Triangle sca- Planlene , pour connoître ses angles, il faut du plus che 2. grand angle abaisser une perpendiculaire sur la ba- Fig.19. fe, & l'on trouvera les fegments de la base , & la valeur de la perpendiculaire, & ensuite les angles du Triangle. Par exemple.

Au Triangle ABC, le côté AB étant 48. toises AC 26.& BC 54. du plus grand A étant abaissé la perpendiculaire AF, on trouvera FB 42. toises , & FC. 12. toises.

Car comme BC 54. toises est BA, & AC 74. toises, ainsi BG 2 2. toises ( difference des deux côçez BA, AC) est à BE 30. toises & 14, ôtant donc BE de BC, reste EC 24. toises, & divisant EC en deux également par la perpendiculaire AF, FC, Vaudra 12. toises , & B 42. toises.

On connoît donc les Sections BF, FC, maintenant pour trouver les angles, voici comme il fauç proceder.

Dautant qu'au Triangle rectangle AFB, la base AB, & le côté BF sont connus, on trouvera l'angle B de 28. deg. ( par les Corollaires de la 1. & 2.) de même l'angle sera trouvé dans le Triangle rectangle AFC ; ce qui étant trouvé, le troi. fiéme BAC eft ansli connu étant le complement

Remarquez que quand le Triangle eft Ifocele, fi les trois côtez font connus, pour connoître les angles , il faut du sommet de l'angle enfermé des deux côtez égaux abaisser une perpendiculaire , qui coupera la base en deux parties égales , & partant on aura deux côtez & l'angle droit connu ; & pour

connoître le reste , il faudra operer fuivant le 2. Corollaire de la premiere Prop.

Aprés avoir donné dans les Corollaires précedens la inaniere de trouver les angles & les côtez des Triangles ; par le moyen des Sinus , des Tangentes & des Secantes, il est à propos de finir cette troifiéme partie & de donner quelques Problèmes qui enseignent la maniere de trouver les côtez, & les angles d'un Triangle par le moyen des Logarithmes, & pour en faciliter l'ufage ; dautant que l'on agit bien plus brievement par cette voyeci que par la précendente , puisqu'au lieu de multiplier & de diviser , il n'est besoin que d'additionner & fouf traire; ce qui donne beaucoup de facilité dans la pratique.

PROBLEM ..

Plan Dans le Triangle ABC, on a l'angle droit G che 2. de connu, & l'angle aigu A avec le côté AC, on Fig.20. demande la valeur du côté BC, il faut proceder

ainsi, comme le Sinus Total de 100000000 est à la Tangente de l'angle A de 49. deg. dont le Logarithme est de 100608369. ainsi le Logarithme du côté AC de 20. toises, qui est de 13010300. eft au Logarithme du côté BC que je cherche.

Remarquez qu'au lieu d'avoir mis fimplement le côté de 20. toises comme ci-devant, on a mis son Logarithme qu'on a cherché dans la seconde

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