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celui sur lequel on mesure les degrez de distance de l'Eclyptique à l’Equateur.

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L'arc d'un grand Cercle tombant sur l'arc d'un autre grand Cercle, fait deux angles droits , ou deux angles égaux à deux droits.

Prenez encore pour exemple l'Equateur qui tombant sur un des colures , fait deux angles droits, le point angulaire étant un point cardinal, il fera deux angles droits, dis-je, puisque l'un de ses an gles a pour mesure la distance qu'il y a d'un des poles au point où il coupe le colure, qui est un quart de Cercle ; & pareillement l'autre angle aura pour mesure la distance de ce même point à l'autre pole du monde qui est aussi un quart de Cercle. De mêm me quand l'Eclyptique est oblique , il fait un angle droit & un angle obrus avec l orison rationnel, lesquels ont ensemble pour mesure un demi Cercle, qui est la distance d'un des poles du mons de à l'autre.

THE O R E ME VII.

Si deux arcs de grands Cercles s'entrecoupent, ils font les angles opposez au sommet égaux entr'eux.

Ce qu'on dit des arcs de Cercles , le peut dire des Cercles entiers ; ainsi considerez sur là Sphere l’Equateur & l'Eclyptique qui s'entrecoupans au pole de l'horison rationnel qui est un des points cardinaux, font des angles au sommet égaux, ce qui s'enrend de soi-même.

THEORE ME VIII.

Si un Triangle Spherique est isocele , il a les angles sur la base égaux entr'eux , & au contraire s'il a les angles sur la base égaux entr'eux, il est ifocele.

clair
pour

mériter une démonstray tion particuliere.

Ceci est trop

THE ORI ME IX.

Si de la pointe d'un Triangle Spherique comme pole, on décrit tant que l'on voudra des Cercles inégaux , les arcs de ces Cercles seront semblables.

Considerez la Sphere celeste, où un des poles du monde étant pris pour le point angulaire d'un angle Spherique, dont les côtez peuvent être pris sur deux meridiens, qui s'entrecouperoient à ce même pole ; il est aisé de voir qu'un Tropique , & un Polaire peuvent être considerez comme ayant été décrits du pole, & qu'ils sont coupez par les deux parties des meridiens qui forment un angle,& que les arcs de ces Cercles qu'ils renferment font égaux,puisqu'ils renferment chacun un même nom, bre de degrez.

THEOREME X.

Chacun des deux angles obligues d’un Triangle Sphes

rique rectangle est de même affection que son

côté opposé.

E dis premierement que si le côté AC du Trian- Fig.21,

gle Spherique ABC rectangle en A, est moindre qu'un quart de Cercle, son angle opposé B eile

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Si l'on prolonge le côté AC jusqu'en D, en sora te que AD loit un quart de Cercle , & que par les deux points B, D, on fafle passer l'arc du grand Cercle BD, on connoîtra que puisque l'angle A est droit , & AD un quart de Cercle, le point D est le pole de l'arc AB, que par consequent l'angle ABDest

droit. D'où il suit que l'angle ABC est aigu. Fig 22.

Je dis en second lieu que li le côté AC du Triangle Spherique ABC rectangle en A , est plus grand qu'un quart de Cercle , lon angle opposé B est obrus.

Si l'on retranche du côté AC, le quart de Cercle AD, & que par les deux points B, D, on fasse passer l'arc de grand Cercle BD, on connoîtra comme auparavant que le point D est le pole de l'arc AB , & que l'angle ABD est droit. D'où il fuit que l'angle ABC elt obtus. Enfin je dis que

fi le côté AC du même Triangle ABC est un quart de Cercle , son angle opposé B sera droit , parce que dans ce cas le point C sera le pole de l'arc AB, & l'angle B sera

par conse

quent droit.

Τ Η Ε Ο R Ε Μ Ε ΧΙ. .

Si les deux côtez d'un Triangle Spherique reEtangle, fort

chacun aigu, ou chacun obius, l'hypolenuje sera moindre qu'un quart de Cercle ; & fi l'un est aigu

L'autre obius, l'hypotenuse fera plus grande qu’un quart de Cercle.

E dis premierement que si chacun de deux côlig. 23

tez AC, BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, eft aigu, Phypotenuse AC est moindre qu'un quart de Cercle.

Plan

che s.

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Plan

F, jusqu'à ce que les arcs AD, BF soient chacun un quart de Cerde , & faites passer par les deux points D, F, l'arc de grand Circle LEF, qui coupe ici l'hypotenuse AC prolongée au point E.

Parce que l'angle B eft droit, & que BF est un quart de Cercle , le point F sera le pole de l'arc AB, & l'angle D sera aussi droit, & parce que AD est aussi un quart de Cercle , le point A sera le pole de l'arc DE, & AE sera un quart de Cercle, & l'hypotenuse AC sera par consequent moin. che 3. dre qu'un quart de Cercle.

Fig.30, Je dis pareillement que si chacun des deux côtez AB, BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, eft obtus , l'hypotenuse AC est moindre qu'un quart de Cercle. Retranchez des deux côtez AB, BC les

quarts de Cercle AD, BF, & faites passer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle DFE , qui qui étant prolongé rencontre ici l'hypotenuse AC, aussi prolongée au point E.

En lisant la démonstration précedente sur cette figure , on connoîtra comme auparavant , que l'arc AE est un quart de Cercle , & que par consequent l'hypotenuse AC est moindre qu'un quart de Cercle.

Je dis en second lieu que si le côté AB est obtus, Plan& le côté BC aigu, du Triangle Spherique ABC che 3. rectangle en B, l'hypotenuse est plus grande qu'un Fig.3 1. quart de Cercle. Ayant retranché du côté AB, le

quart de Cere cle AD, & prolongé l'autre côté BC en F, en forte que BF soit un quart de Cercle, frites paffer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle DEF, qui coupent ici l'hypotenuse AČ, au point E.

En lisant pareillement la démonstration précedente sur cette figure, on connoîtra comme aupa.

che 3:

ravant, que l'arc AE est un quart de Cercle, &

que par corsequent l'hypotenuse AC est plus grans Plan

de qu'un quart de Cercle.

Il est évident que si chacun des deux côtez AB , ig.3 1. BC , étoit un quart de Cercle , l'hypotenuse AC

seroit aussi un quart de Cercle, parce qu'en ce cag les trois angles du Triangle ABC sercient droits ( par le Theor. 10.) & que chacun de ces angles feroit le pole de son côté opposé, & l'hypotenufe AC par consequent un quart de Cercle.

COROLL AIRE I.

Il suit de ce Theorême que si les deux angles obliques d'un Triangle Spherique sont de même affection, l'hypotenuse sera moindre qu'un quart de Cercle , & plus grande s'ils sont de differente affection. Parce que (par le Theor. 10.) ces angles sont de même affection que leurs côtez ора posez.

COROLLAIRE II.

Il s'ensuit aussi que si l'hypotenuse d'un Triangle Spherique rectangle est moindre qu'un quart de Cercle, les deux côtez, ou bien les deux angles obliques, seront entr'eux de même affection, & de diferente affection fi l'hypotenuse est plus grande qu’un quart de Cercle. Parce que fi dans le premier cas les côtez éçoient de differente affection , l'hypotenuse seroit plus grande qu'un quart de Cercle, comme il a été démontré, ce qui est contraire à la supposition de ce premier cas; & que si dans le second cas les deux côtez étoient de mê. me affection, l'hypotenuse seroit moindre qu'un

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