celui fur lequel on mefure les degrez de distance de l'Eclyptique à l'Equateur.

THEOREME VI.

L'arc d'un grand Cercle tombant fur l'arc d'un autre grand Cercle, fait deux angles droits, ou deux angles égaux à deux droits.

Prenez encore pour exemple l'Equateur qui tombant fur un des colures, fait deux angles droits, le point angulaire étant un point cardinal, il fera deux angles droits, dis-je, puifque l'un de fes an gles a pour mefure la diftance qu'il y a d'un des poles au point où il coupe le colure, qui eft un quart de Cercle; & pareillement l'autre angle aura pour mefure la diftance de ce même point à l'autre pole du monde qui eft auffi un quart de Cercle. De mê me quand l'Eclyptique eft oblique, il fait un angle droit & un angle obtus avec l orifon rationnel, lefquels ont ensemble pour mefure un demi Cercle, qui eft la diftance d'un des poles du mon

de à l'autre.

THE ORE ME VII.

Si deux arcs de grands Cercles s'entrecoupent, ils font les angles oppofez au fommet égaux entr'eux. Ce qu'on dit des arcs de Cercles, fe peut dire des Cercles entiers ; ainfi confiderez fur la Sphere l'Equateur & l'Eclyptique qui s'entrecoupans au pole de l'horifon rationnel qui eft un des points cardinaux, font des angles au fommet égaux, ce qui s'enrend de foi-même.

THEOREME VIII.

Si un Triangle Spherique eft ifocele, il a les angles fur la bafe égaux entr'eux, & au contraire s'il a les angles fur la bafe égaux entr'eux, il eft ifocele.

Ceci eft trop clair pour mériter une démonftra tion particuliere.

THEOREME IX.

Si de la pointe d'un Triangle Spherique comme pole, on décrit tant que l'on voudra des Cercles inégaux, les arcs de ces Cercles feront femblables.

Confiderez la Sphere celefte, où un des poles du monde étant pris pour le point angulaire d'un angle Spherique, dont les côtez peuvent être pris fur deux meridiens, qui s'entrecouperoient à ce même pole ; il eft aifé de voir qu'un Tropique, & un Polaire peuvent être confiderez comme ayant été décrits du pole, & qu'ils font coupez par les deux parties des meridiens qui forment un angle,& que les arcs de ces Cercles qu'ils renferment font égaux,puifqu'ils renferment chacun un même nom bre de degrez.

THEOREME X.

Chacun des deux angles obliques d'un Triangle Sphe rique rectangle eft de même affection que fon côté oppofé.

E dis premierement que fi le côté AC du Trian- Fig.21.

dre qu'un quart de Cercle, fon angle oppofé B ef

Fig 22.

Planches. lig. 23.

TRAITE' DE TRIGONOMETRIE. Si l'on prolonge le côté AC jufqu'en D, en for te que AD foit un quart de Cercle, & que par les deux points B, D, on faffe paffer l'arc du grand Cercle BD, on connoîtra que puifque l'angle A eft droit, & AD un quart de Cercle, le point D eft le pole de l'arc AB, que par confequent l'angle ABDeft droit. D'où il fuit que l'angle ABC eft aigu.

Je dis en fecond lieu que fi le côté AC du Triangle Spherique ABC rectangle en A, eft plus grand qu'un quart de Cercle, fon angle oppofé B eft

obrus.

Si l'on retranche du côté AC, le quart de Cercle AD, & que par les deux points B, D, on faffe paffer l'arc de grand Cercle BD, on connoîtra comme auparavant que le point D eft le pole de l'arc AB, & que l'angle ABD eft droit. D'où il fuit que l'angle ABC eft obtus.

que

Enfin je dis fi le côté AC du même Triangle ABC eft un quart de Cercle, fon angle oppofé B fera droit, parce que dans ce cas le point C fera le pole de l'arc AB, & l'angle B fera par confequent droit.

THEOREME XI.

Si les deux côtez d'un Triangle Spherique rectangle,font chacun aigu, ou chacun obius, l'hypotenuse fera moindre qu'un quart de Cercle; & fi l'un eft aigu & l'autre obtus, l'hypotenuse fera plus grande qu'un quart de Cercle.

E dis premierement que fi chacun de deux côtez AC, BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, eft aigu, l'hypotenuse AC eft moindre qu'un quart de Cercle.

F, jufqu'à ce que les arcs AD, BF foient chacun un quart de Cerde, & faites paffer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle LEF, qui coupe ici l'hypotenufe AC prolongée au point E.

Parce que l'angle B eft droit, & que BF eft un quart de Cercle, le point F fera le pole de l'arc AB, & l'angle D fera auffi droit, & parce que AD eft auffi un quart de Cercle, le point A fera le pole de l'arc DE, & AE fera un quart de Cercle, & l'hypotenufe AC fera par confequent moin che 3. dre qu'un quart de Cercle. Fig.50.

Je dis pareillement que fi chacun des deux côtez AB, BC, du Triangle Spherique ABC rectangle en B, eft obtus, l'hypotenufe AC eft moindre qu'un quart de Cercle.

Retranchez des deux côtez AB, BC les quarts de Cercle AD, BF, & faites paffer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle DFE, qui qui étant prolongé rencontre ici l'hypotenuse AĈ, auffi prolongée au point E.

En lifant la démonftration précedente fur cette figure, on connoîtra comme auparavant, que l'arc AE eft un quart de Cercle, & que par confequent l'hypotenuse AC eft moindre qu'un quart

de Cercle.

Plan

Je dis en fecond lieu que fi le côté AB eft obtus, Plan& le côté BC aigu, du Triangle Spherique ABC che 3. rectangle en B, l'hypotenufe eft plus grande qu'un Fig.31. quart de Cercle.

Ayant retranché du côté AB, le quart de Cercle AD, & prolongé l'autre côté BC en F, en forte que BF foit un quart de Cercle, faites paffer par les deux points D, F, l'arc de grand Cercle DEF, qui coupent ici l'hypotenuse AČ, au point E. En lifant pareillement la démonftration précedente fur cette figure, on connoîtra comme aupa

Plan

the 3.

ravant, que l'arc AE eft un quart de Cercle, & que par confequent l'hypotenufe AC eft plus grande qu'un quart de Cercle.

Il est évident que fi chacun des deux côtez AB, ig.; 1. BC, étoit un quart de Cercle, l'hypotenufe AC feroit auffi un quart de Cercle, parce qu'en ce cas les trois angles du Triangle ABC fercient droits (par le Theor. 10. ) & que chacun de ces angles feroit le pole de fon côté oppofé, & l'hypotenu fe AC par confequent un quart de Cercle.

COROLLAIRE I.

Il fuit de ce Theorême que fi les deux angles obliques d'un Triangle Spherique font de même affection, l'hypotenufe fera moindre qu'un quart de Cercle, & plus grande s'ils font de differente affection. Parce que (par le Theor. 10.) ces an gles font de même affection que leurs côtez op pofez.

COROLLAIRE II.

Il s'enfuit auffi que fi l'hypotenufe d'un Triangle Spherique rectangle eft moindre qu'un quart de Cercle, les deux côtez, ou bien les deux angles obliques,feront entr'eux de même affection, & de differente affection fi l'hypotenufe eft plus grande qu'un quart de Cercle. Parce que fi dans le premier cas les côtez étoient de differente affection, l'hypotenufe feroit plus grande qu'un quart de Cercle, comme il a été démontré, ce qui eft contraire à la fuppofition de ce premier cas; & que fi dans le fecond cas les deux côtez étoient de même affection, l'hypotenufe feroit moindre qu'un