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ee qui est contre la supposition de ce second cas,

COLLO RAIRE III.

Il s'ensuit encore que si l'hypotenuse & un côté d'un Triangle Spherique rectangle font de même affection , l'autre côté ou bien son angle opposé sera aigu, & obtus s'ils sont de differente affection. Parce que

par le Coroll. 2.) fi l'hypotenuse & un côté sont chacun moindres qu'un quart de Cercle l'autre côté sera aussi moindre qu'un quart

de Cercle; & plus grand fi l'hypotenuse & un côté sont chacun plus grands qu'un quart de Cercle. Mais Si l'hypotenuse & un côté font de differente affection, en sorte que l'hypotenuse soit , par exemple, plus grande qu'un quart de Cercle', & un côté

par consequent aigu, l'autre côté sera obrus : & pareillement fi l'hypotenuse eft moindre qu'un arc de Cercle , & un côté par confequent obrus, l'autre côté sera aulli obtus, parce que dans ce cas les deux côtez sont de même affection ( par le com roll. zaje

THEOREME XII.

Si deux angles d'un Triangle Spherique , font de

même affiłtion ; la perpendiculaire tirée du troisième angle sur son côté opposé, tombera au dedans du Triangle, & au dehors si les deux mêmes angles sont de diverse affe Etion. E dis pret ierement que fi les deux angles A, Plan,

B , du Triangle Spherique ABC, sont de même che 3. affection , par exemple chacun obtus, la perpendi- Fig. 29 culaire CD tombera au dedans du Triangle, parse que fi elle comboit au dehors., comme dans la

figure , cette perpendiculaire CD étant confiderée dans le Triangle rectangl: ADC, est par le Theorême 10 ) de même affection que son angle opposé A, que nous avons suppose obtus, & par consequent plus grande qu'un quart de Cercle, &

qu'étant considerée dans le Triangle rectangle Plan. BDC, dont l'angle B est aigu, parce que l'angle che 3. AC a été supposé obtus , elle est moindre qu'un Fig.35. quart de Cercle, ce qui est contradictoire, & l'on

trouvera la même contradiction, en supposant que chacun des deux angles A, B , est aigu. Donc &c.

Je dis en second lieu, que si les deux angles A, B, du Triangle Spherique ABC, sont de differente affection, comme si l'angle A est aigu , & l'angle B obtus, la perpendiculaire CD tombera au dehors du Triangle , parce que si elle tomboit en dedans, comme dans cette figure , cette perpendiculaire CD étant considerée dans le Triangle rectangle ADC, eft (par le Theor. 10. ) de même affection

que

son angle opposé A, que nous avons supposé aigu, & par consequent moindre qu'un quart de Cercle ; & qu'étant considerée dans le Triangle rectangle CDB , dont l'angle B a été suppofé obtus, elle est plus grande qu’un quart de Cercle, ce qui est contradictoire, & la même contradiction arrivera en supposant l'angle A obtus, & l'angle B aigu. Donc &c.

THEOREME XIII.

che 3:

Aux Triangles Spheriques re&tangles, il y a même

raison de la Tangente de Bangle oppose à la perpendiculaire, à la Tangente de cette perpendiculai-re qu'il y a du rayon du Cercle an Sinus de la base.

Oncevez dans une Sphere dont le point A Planest le centre, les grands Cercles OGCM

,

Fig. 25. OIDM s'entrecourent dans le diametre commun QAM, & qu'ils font l'angle 10G ; puis pensez que l'arc d'un autre grand Cercle GIN, passe par le point N , qui est le pole du Cercle OGCM; d'où il suit que le plan de ce Cercle GIN, sera perpendiculaire au plan du Cercle OGCM, que l'arc GI sera perpendiculaire à l'arc OG,que l'anglel GOfera droit ; & par consequent que le Triangle Ogi sera ređangle ; aprés cela ayant pris l'arc Oi qui foutient l'angle droit , pour l'hypotenuse de ce Triangle, l'arc OG pour la base, & l'arc GI pour la perpendiculaire; du pole 0, & de l'intervale OC (que je suppose de go. degrez.) Décrivez le Cercle CDN, cela étant l'arc CD fera la mesure de l'angle 10G ; puis dans le plan du Cercle ACN, à l'extremité du rayon AC, élevez la perpendiculaire CE, jusqu'à ce qu'elle rencontre le rayon AD prolongé ; cette ligne CE fera la Tangente de l'arc CD, ou de l'angle IOG que cet arc mesure ; de même dans le plan du Cercle AGN, à l'extrêmiré du rayon AG, élevez la perpendiculaire GL , jufqu'à ce qu'elle rencontre le rayon Al prolongé; cette ligne GL sera la Tangente de la perpendiculaire GI; enfin du point G, abaissez la ligne GF perpendiculaire au rayon AO, cette ligne GF sera le Sinus de la base OG; cela ainsi posé ; je dis qu'il

y a même raison de CE Tangente de l'angle IOG à GL, Tangente de la perpendiculaire GI , à laquelle il est opposé que du rayon du Cercle AC, à GF Siris de la base OG. Pour le

prouver. Du point F au point L, menez la ligne droite

FL; puis c nsiderez que les deux lignes GE , GL, Fig.25 étan' dans les plans des Cercles ACN, AGN,&

perpendic Hlaires aux deux lignes , ou rayons AC,
AG, qui sont les communes sections de ces deux
plans, x d'un troisiéme AOGCM, auquel ils sont
perpendiculaires, c'est une nécesfiré que les lignes
GE, GL , soient perpendiculaires au plan du Cer-
çle AOGCM; & par consequent qu'elles soient
paralleles entre elles.
De plus, l'angle OAC, qui est foutenu

par

le quart de Cercle OC, étant droit; & l'angle OFG étant aussi droit , il s'ensuit que les lignes AC, GF sont paralleles; & ainsi les lignes AC, CE, étant parelleles aux lignes GF, GL, le plan qui paffe par AC, CE, s'ensuit parallele au plan qui passe par GF, GL; & ces deux plans étant coupez par un troisiéme, à sçavoir OIDM, les lignes de communes sections AE, FL , sont aussi paralleles. Si bien que les trois côtez du Triangle rectiligne ACE, sont paralleles aux trois côtez du Triangle rectiligne FGL , par consequent ces deux Triangles sont équiangles; &

& partant

il y a même raison de GE à GL , que de ĄC, à GF, C, Q. F. D.

COROLL AIK EI.

Plan

Il fuit de là que si dans un Triangle Spherique che : rectangle , comme ABC, dans lequel l'angle B eft Fig. 32,

droit, on donne un des angles aigus, par exemple A., avec le côté opposé BC, on trouvera l'arc AB.

A, est à la Tangente de l'arc BC, ou de la

perpendiculaire à laquelle il est opposé; ainsi le rayon du Cercle est au Sinus de l'arc AB, ou de la base. Or par le moyen des Tables, quand on a la valeur des Sinus & des Tangentes, on a la valeur des angles & des arcs.

COROLLAIRE II.

Plan

3.

Ou bien enfin , fi dans le même Triangle, on donne l'angle A , & le côté AB, on trouvera l'arc che BC; car comme le rayon du Cercle est au Sinus de Fig. 32 l'arc AB, ou de la base ; ainsi la Tangente de l'angle A , est à la Tangente de l'arc BC, ou la perpendiculaire à laquelle il est opposé ; qui est ce que l'on cherche.

THEOREME XIV.

.ژche

Aux Triangles Spheriques rectangles, il y a même

raison du Sinus de i'angle opposé à la perpendicum laire , au Sinus de cette perpendicula re qu'il y a du rayon du Cercle au Sinus de l'hypotenuse. D

Ans la figure précedente, concevez que la Plan& qu'ainsi elle soit le Sinus de l'arc CD, & con

Fig.28. fequemment de l'angle 10G, qui est mesuré par cet arc. De même concevez que la ligne IH loit perpendiculaire au rayon AG, & qu'ainsi soit le Sinus de l'arc, ou de la perpendiculaire G1 : enfin concevez que la ligne 1P, foit perpendiculaire au rayon AO, & qu'ainsi elle soit le Sinus de l'hypotenuse Ol; cela ainsi posé , je dis qu'il y a nieme raison de DB, Sinus de l'angle iog, à IH

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