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gle eft opposé, que du rayon du Cercle AD à IP, , Sinus de l'hypotenuse Ol; pour le prouver.

Du point P au point H, menez la ligne droite PH.

Maintenant confiderez que puisque la ligne DB est dans le plan du Cercle ACN, & qu'elle est perpendiculaire au rayon AC, qui est la commune fection des plans ACN,& AOC qui s'entrecoupent à angles droits, il s'ensuit que cette ligne DB eft perpendiculaire au plan 40C; de même puisque la figne IH est dans le plan du Cercle AGN, & qu'elle eft perpendiculaire au rayon AG qui eft la commune section des plans AGN, & AOC, qui s'entrecoupent aussi à angles droits ; il s'ensuit que cette ligne IH, est aussi perpendiculaire au plan AOC ; & partant que les lignes DB, & IH sont paralleles entre elles ; d'ailleurs les lignes AD & IP étant perpendiculaires à la même ligne AO, sont aussi paralleles entre elles ; d'où il suit que le plan qui passe par les lignes AD, DB , est parallele à celui qui passe par les lignes IP, IH, & ces deux plans étant coupez par un troisiéme, à sçavoir AOC, les lignes de communes sections AC, PH, sont aussi paralleles ; fi bien que les trois côtez du Triangle rectiligne DBA sont paralleles aux trois côtez du Triangle rectiligne IHP; par consequent ces deux Triangles sont équiangles ; & partant il y a même raison de DB à IH, que de AD à IP. C. Q. F.D.

RE MARQUE.

Plan

Comme le rayon du Cercle est le Sinus d'un anshe 3. gle droit, & que l'angle IGO eft droit , il est éviFig.25. dent (par la precedente

. ) que comme le Sinus de l'angle 10G, est au Sinus de l'arc GI qui lui est

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opposé ; ainsi le Sinus de l'angle IGO, ou le rayon du Cercle, est au Sinus de l'arc Ol', qui lui est opposé. De plus si l'on avoit pris (I pour la base, & OG pour la perpendiculaire ; on auroit montré que le Sinus de l'angle OIG, est au Sinus de l'arc OG, qui lui eft oppoté, comme le Sinus de l'angle IOG, ou le rayon du Cercle , est au Sinus de l'arc OI; & comme les raisons sont semblables à une même, font semblables entre elles, il s'ensuit que comme le Sinus de l'angle IOG, est au Sinus de l'arc GI, qui lui eft opposé ; ainsi le Sinus de l'angle OIG, est au Sinus de l'arc OG qui lui est opposé; & ainsi il est toûjours vrai de dire, qu'aux Triangles Spheriques rectangles, il y a même raison du Sinus d'un angle, au Sinus de l'arc qui lui est oppolé, que du Sinus d'un autre angle, au Si ous de l'arc qui lui est opposé.

COROLLAIRE I.

Il suit de là, que fi dans un Triangle Spherique rectangle, comme ABC, duquel l'angle B eft droit, on donne l'angle A, & l'arc BC, on troud vera l'hypotenuse AC ; car comine le Sinus de l'angle A, est au Sinus de l'arc BC qui lui eft oppole ; ainsi le Sinus de l'angle B, ou le rayon cu Cercle, est au Sinus de l'arc AC qui lui est 0sposé, & que l'on cherche.

COROLLAIRE II.

Que fi dans le même Triangle ABC, on donne Fig 3 24 l'angle A, & l'hypotenuse AC, on trouvera l'arc BC;

car comme le Sinus de l'angle B, ou le rayon du Cercle, est au Sinus de l'arc AC, qui lui est

de l'arc BC , qui lui est opposé & que l'on cherche

COROLLA IRI III.

Enfin, si dans le même Triangle on donne l'hypotenuse AC, & l'un des côtez comme BC, on trouvera l'angle A, qui lui est opposé, car comme le Sinus de l'arc AC, ou de l'hypotenuse, eft au rayon du Cercle, ou au Sinus de l'angle B qui lui eft opposé, ainsi le Sinus de l'arc CB, est au Sinus de l'angle A qui lui est opposé, & que l'on cherche.

R E MA R.QUE.

De ces Corollaires & de ceux de la précedente, il est évident qu'aux Triangles Spheriques rectangles trois choses étant données ( pourvû toutefois que ce ne soit pas simplement les trois angles, l'on trouvera les trois autres.

THEOREME X V.

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En tout Triangle Spherique , comme le Sinus d'un

angle eft an Sinus du côté qui lui est opposé, ainsi le Sinus d'un autre angle est au Sinus dos côté qui

lui eft opposé. L

A verité de cette Proposition a déja été dé

montrée, touchant les Triangles Spheriques re&angles ; & ainsi il ne s'agit plus ici que de ceux quine le font point, comme par exemple le Triangle ABC, où l'on va faire voir d'abord que comme le Sinus de l'angle A, est au Sinus du côté BC, quilui est opposé ; ainsi le Sinus de l'angle B, est au Sinus du côté AC qui lui est opposé ( & ensuite l'on

Du sommet de l'angle C, abaissez la perpendiculaire CD sur le côté AB,( prolongée s'il en est besoin. ) Cela fait , considerez que puisque le Triangle ADC eit rectangle, il y a même raison du Sinus de l'angle A, au Sinus de l'arc CD, qu'il y a du Sinus de l'angle ADC, ou du rayon du Cer-Fig.274 cle , au Sinus de l'arc AC, & partant le rectangle &28. compris du Sinus de l'angle A, & du Sinus de l'arc AC, qui font les deux extrêmes de quatre choses proportionnelles, est égal au rectangle compris du Sinus de l'arc CD, & du Sinus de l'angle ADC, ou du rayon du Cercle , qui sont les moyennes. De même puisque le Triangle BDC est rectangle, il y a même raison du Sinus de l'angle CBD ou CBA qui est le même, ou qui est son complement à deux droits, & qui par conseqnent a un même Sinus ) au Sinus de l'arc CD, que du Sinus de l'angle BDC , ou du rayon du Cercle,au Sinus de l'arc BC; & partant le rectangle compris du Sinus de l'angle B, de quelque façon qu'on le prenne, & du Sinus de l'arc BC, qui sont les extrêmes; est égal au rectangle compris du Sinus de l'angle BDC , ou ADC son égal, en un mor du rayon du Cercle , & du Sinus de l'arc CD, qui sont les moyennes. Or le rectangle compris du Sinus de l'angle A, & du Sinus de l'arc AC, a déja été démontré lui être égal; d'où il suit que le rectangle compris du Sinus de l'angle A, & du Sinus de l'arc AĊ, est égal au rectangle compris du Sinus de l'angle B , de quelque façon qu'on le prenne, & du Sinus de l'arc BC ; & partant ces deux rectangles ont leurs côtez reciproquement proportionnaux ; c'est-à-dire , qu'il y a même raifon du Sinus de l'angle A, qui est un des côtez du premier rectangle, au Sinus du côté BC qui lui

y a du Sinus de l'angle B, qui est encore un des com tez du second rect ngle, au Sinus du côté AC, qui lui eft opposé, & qui est un des côtez du premier ; C. Q. F. d'abord D.

Maintenant pour achever la démonstration, & prouver le même à l'égard des Sinus des autres

angles, & des autres côtez; il ne faut qu'abaisser Fig.27.

du sommet de l'angle A , la perpendiculaire AE, & 28. sur le côté BC, prolongé s'il en eft besoin ; & sui

vant le même raisonnement que l'on vient de faire, l'on montrera que comme le Sinus de l'angle B, de quelque façon que l'on le prenne , est au Sinus du côté AC, qui lui est opposé; ainsi le Sinus de l'angle ACB , est au Sinus du coté AB, qui lui eft opposé. D'où il suit enfin que comme le Sinus de l'angle A, est au Sinus du coré BC qui lui est opposé, aindi le Sinus de l'angle C, ou ACB est au Sinus du côté AB qui lui eft opposé, puisque ces deux raisons font semblables à une même, sçavoir à celle du Sinus de l'angle B, au Sinus du côté AC : fi bien qu'on peut dire generallement, qu'en Triangle Spherique, comme le Sinus d'un angle est au Sinus du coté qui lui eft opposé; ainsi le Sinus d'un autre angle eft au Sinus du côté qui lui est opposé. C. Q. F. D.

tout

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Fig.320

Si donc dans un Triangle Spherique, comme ABC, l'on donne les deux angles A & B, avec le coté AC, opposé à l'un des deux angles donnez, l'on trouvera le côté CB opposé à l'autre angle donné; car comme le Sinus de l'angle B, eft au Sinus de l'arc AC ; ainsi le Sinus de l'angle A , eft au Sinus de l'arc BC que l'on cherche.

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