Plan

gle eft oppofé, que du rayon du Cercle AD à IP; Sinus de l'hypotenufe OI; pour le prouver.

Du point P au point H, menez la ligne droite

PH.

Maintenant confiderez que puifque la ligne DB eft dans le plan du Cercle ACN, & qu'elle eft perpendiculaire au rayon AC, qui eft la commune fection des plans ACN,& AOC qui s'entrecoupent à angles droits, il s'enfuit que cette ligne DB eft perpendiculaire au plan AOC; de même puifque la ligne IH eft dans le plan du Cercle AGN, & qu'elle eft perpendiculaire au rayon AG qui eft la commune fection des plans AGN, & AOC, qui s'entrecoupent auffi à angles droits ; il s'enfuit que cette ligne IH, eft auffi perpendiculaire au plan AOC; & partant que les lignes DB, & IH font paralleles entre elles; d'ailleurs les lignes AD & IP étant perpendiculaires à la même ligne AO, font auffi paralleles entre elles; d'où il fuit que le plan qui paffe par les lignes AD, DB, eft parallele à celui qui paffe par les lignes IP, IH, & ces deux plans étant coupez par un troifiéme, à fçavoir AOC, les lignes de communes fections AC, PH, font auffi paralleles ; fi bien que les trois côtez du Triangle rectiligne DBA font paralleles aux trois côtez du Triangle rectiligne IHP; par confequent ces deux Triangles font équiangles; & partant il y a même raifon de DB à IH, que de AD à IP. C. Q. F. D.

REMAR QUE.

Comme le rayon du Cercle eft le Sinus d'un anche 3. gle droit, & que l'angle IGO eft droit, il est éviFig.25. dent (par la précedente.) que comme le Sinus de

oppofé; ainfi le Sinus de l'angle IGO, ou le rayon du Cercle, eft au Sinus de l'arc Ol, qui lui eft oppofé. De plus fi l'on avoit pris GI pour la base, & OG pour la perpendiculaire; on auroit montré que le Sinus de l'angle OIG, eft au Sinus de l'arc OG, qui lui eft oppoté, comme le Sinus de l'angle IOG, ou le rayon du Cercle, eft au Sinus de l'arc OI; & comme les raifons font femblables à une même, font femblables entre elles, il s'enfuit que comme le Sinus de l'angle IOG, eft au Sinus de l'arc GI, qui lui eft oppofé; ainfi le Sinus de l'angle OIG, eft au Sinus de l'arc OG qui lui eft oppofé; & ainfi il eft toûjours vrai de dire, qu'aux Triangles Spheriques rectangles, il y a même raifon du Sinus d'un angle, au Sinus de l'arc qui lui eft oppofé, que du Sinus d'un autre angle, au Sinus de l'arc qui lui eft oppofé.

COROLLAIRE I.

Il fuit de là, que fi dans un Triangle Spheri que rectangle, comme ABC, duquel l'angle B eft droit, on donne l'angle A, & l'arc BC, on trouvera l'hypotenufe AC; car comme le Sinus de l'angle A, eft au Sinus de l'arc BC qui lui eft oppofe; ainfi le Sinus de l'angle B, ou le rayon cu Cercle, eft au Sinus de l'arc AC qui lui eft oppofé, & que l'on cherche.

COROLLAIRE II.

Que fi dans le même Triangle ABC, on donne Fig 3 24 l'angle A, & l'hypotenufe AC, on trouvera l'arc BC; car comme le Sinus de l'angle B, ou le rayon du Cercle, eft au Sinus de l'arc AC, qui lui eft

& 28.

de l'arc BC, qui lui eft opposé & que l'on cherche.

COROLLAIRE III.

Enfin, fi dans le même Triangle on donne l'hypotenufe AC, & l'un des côtez comme BC, on trouvera l'angle A, qui lui eft oppofé, car comme le Sinus de l'arc AC, ou de l'hypotenufe, eft au rayon du Cercle, ou au Sinus de l'angle B qui lui eft oppofé, ainfi le Sinus de l'arc CB, eft au Sinus de l'angle A qui lui eft oppofé, & que l'on cherche.

REMAR QUE.

De ces Corollaires & de ceux de la précedente; il est évident qu'aux Triangles Spheriques rectangles trois chofes étant données (pourvû toutefois que ce ne foit pas fimplement les trois angles) l'on trouvera les trois autres.

THEOREME XV.

En tout Triangle Spherique, comme le Sinus d'un angle eft au Sinus du côté qui lui eft oppose, ainsi le Sinus d'un autre angle eft au Sinus du côté qui lui eft opposé.

Fig.27 A verité de cette Propofition a déja été déLmontrée, touchant les Triangles Spheriques re&angles; & ainfi il ne s'agit plus ici que de ceux quine le font point, comme par exemple le Triangle ABC, où l'on va faire voir d'abord que commele Sinus de l'angle A, eft au Sinus du côté BC, qui lui eft oppofé; ainfi le Sinus de l'angle B, eft au Sinus du côté AC qui lui eft oppofé ( & enfuite l'on

Du Sommet de l'angle C, abaiffez la perpendiculaire CD fur le côté AB, (prolongée s'il en eft befoin. Cela fait, confiderez que puifque le Triangle ADC eit rectangle, il y a même raifon du Sinus de l'angle A, au Sinus de l'arc CD, qu'il y a du Sinus de l'angle ADC, ou du rayon du ĈerFig.274 cle, au Sinus de l'arc AC, & partant le rectangle & 28. compris du Sinus de l'angle A, & du Sinus de l'arc AC, qui font les deux extrêmes de quatre chofes proportionnelles, eft égal au rectangle compris du Sinus de l'arc CD, & du Sinus de l'angle ADC, ou du rayon du Cercle, qui font les moyennes. De même puifque le Triangle BDC eft rectangle, il y a même raifon du Sinus de l'angle CBD You CBA qui eft le même, ou qui eft fon complement à deux droits, & qui par confeqnent a un même Sinus) au Sinus de l'arc CD, que du Sinus de l'angle BDC, ou du rayon du Cercle,au Sinus de l'arc BC; & partant le rectangle compris du Sinus de l'angle B, de quelque façon qu'on le prenne, & du Sinus de l'arc BC, qui font les extrêmes; eft égal au rectangle compris du Sinus de l'angle BDC, ou ADC fon égal, en un mot du rayon du Cercle, & du Sinus de l'arc CD, qui font les moyennes. Or le rectangle compris du Sinus de l'angle A, & du Sinus de l'arc AC, a déja été démontré lui être égal; d'où il fuit que le rectangle compris du Sinus de l'angle A, & du. Sinus de l'arc AC, eft égal au rectangle compris du Sinus de l'angle B, de quelque façon qu'on le prenne, & du Sinus de l'arc BC; & partant ces deux rectangles ont leurs côtez reciproquement proportionnaux; c'eft-à-dire, qu'il y a même raifon du Sinus de l'angle A, qui eft un des côtez du premier rectangle, au Sinus du côté BC qui lui

y a du Sinus de l'angle B, qui eft encore un des cô tez du fecond rect ngle, au Sinus du côté AC, qui lui eft oppofé, & qui eft un des côtez du premier; C. Q. F. d'abord D.

Maintenant pour achever la démonftration, & prouver le même à l'égard des Sinus des autres angles, & des autres côtez; il ne faut qu'abaiffer Fig.27. du fommet de l'angle A, la perpendiculaire AE, & 28. fur le côté BC, prolongé s'il en eft befoin; & fuivant le même raifonnement que l'on vient de faire, l'on montrera que comme le Sinus de l'angle B, de quelque façon que l'on le prenne, eft au Sinus du côté AC, qui lui eft oppofé; ainfi le Sinus de l'angle ACB, eft au Sinus du coté AB, qui lui eft oppofé. D'où il fuit enfin que comme le Sinus de l'angle A,eft au Sinus du coré BC qui lui eft oppofé, ainfi le Sinus de l'angle C, ou ACB eft au Sinus du côté AB qui lui eft oppofé,puifque ces deux raifons font femblables à une même, fçavoir à celle du Sinus de l'angle B, au Sinus du côté AC: fi bien qu'on peut dire generallement, qu'en tout Triangle Spherique, comme le Sinus d'un angle eft au Sinus du coté qui lui eft oppofé; ainfi le Sinus d'un autre angle eft au Sinus du côté qui lui eft oppofé. C. Q. F. D.

Fig.32.

COROLLAIRE I.

Si donc dans un Triangle Spherique, comme ABC, l'on donne les deux angles A & B, avec le coté AC, oppofé à l'un des deux angles donnez, l'on trouvera le côté CB oppofé à l'autre angle donné; car comme le Sinus de l'angle B, eft au Sinus de l'arc AC; ainfi le Sinus de l'angle A, eft