l'excez d'un des côtez par deffus l'autre, dont le Si nus droit fera CG perpendiculaire à EB. De même AD fera le diametre d'un autre petit Cercle, dont le pole eft B, & dont la circonference paffera auffi par ce point qui eft reprefenté par Q.D'où il fuit que les arcs égaux BA & BD font auffi égaux à cette bafe du Triangle propofé, laquelle eft ici representée par QB; & partant l'arc ABC eft l'aggregé de la bafe & de l'excez d'un des côtez par deffus l'autre ; de la moitié duquel aggregé le Sinus droit eft HC, moitié de AC; & l'arc CD fera la difference de la base & de cet excez, dont la foutendante eft Fig. 36. CID. Enfuite de quoi ayant mené HI parallele à AD, il s'enfuit que comme AH, eft à HC, ainfi DI eft à IC; & dautant que AH eft égale à HC, il s'enfuit auffi que DI eft égale à IC: & partant que IC eft le Sinus droit de la moitié de la difference de la bafe, & de l'excez de l'un des côtez par deffus l'autre. De plus ayant continué la projection QR, jufqu'à celle d'un grand Cercle, dont R eft le pole, & dont le diametre & la projection tout enfemble, eft YEZ; & au point S où la rencontre fe fait, ayant élevé la perpendiculaire ST, il s'enfuit que l'arc TZ fera la mesure de l'angle du fommet de nôtre Triangle propofé QRB. Puis ayant mené la ligne droite TZ, & du centre E abaiffé la perpendiculaire EV, fa moitié VZ fera le Sinus droit de la moitié de l'angle du fommet R, duquel angle tout entier le Sinus verfe fera ZS, dans un grand Cercle dont EZ eft le rayon ; & CQ fera dans un petit Cercle dont OC eft le rayon.

Cela pofé, il faut maintenant faire voir que comme le rectangle compris de PB & de OC, Sinus droits des deux côtez inégaux RB, QR eft au quarré du rayon EZ ou EB; ainfi le rectangle

le Sinus de la moitié de l'aggregé de la base, & de l'excez d'un des côtez par deffus l'autre, & l'autre eft le Sinus de la moitié de la difference de la bafe & de cet exez) eft au quarré de VZ, Sinus droit de la moitié de l'angle du fommet, ou de l'angle oppofé à la base, qui eft la même chose. Pour le

prouver.

Abaiffez premierement fur EZ la perpendiculaire-VX, cette ligne coupera ZS en deux également, à caufe que VX étant parallele à TS, SX fera égale à XZ, comme TV, l'est à VZ, ainfi qu'il a été démontré ci-devant; abaiffez auffi fur AD la perpendiculaire CL, cette ligne fera coupée en deux également au point M, à caufe que MI étant parallele à LD, bafe du Triangle CLD, LM fera égale à MC, comme DI, l'eft à IC. Ainfi qu'il a auffi été démontré.

Cette préparation encore fuppofée, confiderez maintenant que le Triangle BPE eft femblable au Triangle OKE; que celui-ci eft femblable au Triangle FKQ; & que ce dernier eft encore semblable au Triangle LCQ; d'où s'enfuit du premier au dernier, que le Triangle PBE eft femblable au Triangle LCQ; & partant qu'il y a même raifon de PB à BE, que de LCà CQ. Et dautant que CQ & ZS font les Sinus verfes des deux arcs femblables de deux Cercles inégaux, il s'enfuit (par le 1. Coroll. de la précedente) que CQ & ZS font Eig 36. entr'eux en même raifon que les rayons de leurs Cercles OC & EZ.

Cela ainfi pofé, concevez maintenant ces quatre rectangles, dont le premier foit compris des deux Sinus droits PB, OC; le fecond des deux rayons EB, EZ, c'est-à-dire, dont le fecond foit le quarré du rayon; le troifiéme foit compris des deux lignes LC, CQ; & le quatriéme des deux Sinus ver

fes CQ, ZS, maintenant, comme les rectangles font entr'eux en raison compofée de celle de leurs côtez, c'est-à-dire, comme ils font entr'eux comme le produit de leurs côtez; & que la raison du produit des côtez du premier rectangle, au produit de ceux du fecond, a été démontrée être la même que celle du côté des produits du troifiéme, au produit des côtez du quatrième, il s'enfuit que ces quatre rectangles font proportionnaux; & partant qu'il y a même raifon du rectangle compris de PB, OC, au quarré du rayon EB, & que du rectangle compris de LC, CQ, au rectangle compris de CQ, ZS. Mais ces deux derniers rectan→ gles ayant CQ pour commune hauteur, ils font entr'eux comme leurs bafes LC, ZS; ou comme leurs moitiez MC, XZ; & partant la raison du rectangle compris de PB, OC, au quarré du rayon Fig.36. EB, eft la même que celle de MC à XZ. Mais comme MC eft à XZ, ainfi le rectangle de EZ, MC, eft au rectangle de EZ, XZ, à caufe qu'ils ont tous deux la même hauteur EZ, d'où s'enfuit encore une fois que le rectangle de PB, OC, eft au quarré du rayon EB, comme le rectangle de EZ, MC, eft au rectangle de EZ, XZ, ou (à caufe que VZ eft moyenne proportionnelle entre EZ & XZ) au quarré de VZ. Que fi au lieu du troifiéme rectangle compris de EZ, MC, on prend le rectangle de HC, IC qui lui eft égal (par le 2, Lemme de la précedente) (à caufe que HC eft le Sinus droit de la moitié de l'aggregé des deux arcs inégaux AB, BC, & IC le Sinus droit de la moitié de leur difference; & que MC eft la moitié de CL, ou de fon égale GF qui eft la difference des Sinus verfes des deux arcs inégaux AB, BC, & Ez le rayon,) il fera vrai de dire que comme

EZ, ou EB; ainsi le rectangle de HC, IC, eft au quarré de VZ. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

Il fuit de là, que d'un Triangle Spherique, dont les côtez font inégaux, les trois côtez étant connus, on connoîtra les trois angles; car pour cela, il ne faut que faire une regle de Trois, dont le premier terme foit le rectangle, ou le produit des Sinus des deux côtez tels que l'on voudra; le fecond foit le quarré du rayon; le troifiéme foit le rectangle, ou le produit de deux autres Sinus, fçavoir du Sinus d'un arc qui fera la moitié de l'aggregé de la bafe, & de l'excez de l'un de ces côtez par deffus l'autre, & du Sinus d'un autre arc qui fera la moitié de la difference de la base & de cet excez ; aprés quoi il fuit de cette Propofition, que le quatrième terme fera le quarré du Sinus de la moitié de l'angle oppofé à la base. Si donc on extrait la racine quarrée du quatriéme terme, on aura le Sinus d'un angle, dont le double fera la valeur de l'angle que l'on cherche, enfuite de quoi il fera aisé de trouver les deux autres angles par le moyen des Corollaires de la précedente.

Remarquez que fi l'on veut fe fervir des Tables des Logarithmes; il faudra feulement ajoûter à une fomme le double du Logarithme du rayon, celui du Sinus de la moitié de l'aggregé de la base & de l'excez de l'un des côtez par deffus l'autre, & le Logarithme du Sinus de la moitié de la difference de la base & de cet excez ; puis de cette fommes ôter les Logarithmes des Sinus des deux côtez ; & enfin prendre la moitié du refte; laquelle moitié fera le Logarithme du Sinus de la moitié de l'angle opposé à la base. Et ainfi on épargnera plus

des trois quarts du travail qu'il faudroit prendre en fe fervant des Tables ordinaires des Sinus.

Remarquez auffi, que fi le Triangle propofé avoit deux côtez égaux, fans tant de circuit, ni de détour, il ne faudroit qu'abaiffer un arc perpendiculaire fur la bafe, laquelle feroit divifée en deux également, & le Triangle en deux Triangles rectangles, qui auroient chacun un angle & deux côtez connus; enfuite de quoi on trouvera aisément le refte par les Coroll. du 13. & 14. Theorêmes. Et premierement on trouveroit l'angle oppofé à la moitié de la base Coroll. du 14, Theor. Puis l'on trouveroit la perpendiculaire que l'on auroit abaiffée par le 1. Coroll. du 13. Theor. en la prenant pour la bafe de fon Triangle; & enfin l'on trouveroit le troifiéme angle par le 2. Coroll. du 13. Theor,

Fig.39.

par

le 3*

THEOREME XVI I.

Si des angles d'un Triangle Spherique, comme poles on décrit trois grands Cercles; ils formeront en s'entrecoupant un autre Triangle Spherique, dont les côtez feront égaux aux fupplémens des angles, & reciproquement les angles aux fupplémens des côtez du Triangle propose.

Q

U'ABC foit le Triangle Spherique propofé, maintenant fi du point A comme pole, l'on décrit le grand Cercle i GEM, & du point B le grand Cercle HDEFPQ; & enfin du point C auffi comme pole, le grand Cercle HXGFNO, il se formera le Triangle HGE; cela étant, je dis premierement que les côtez du Triangle HGE, font égaux aux fupplémens des angles du Triangle