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58779. fi l'on ôte fon quarré qui est 3454970841. du quarré du rayon qui eft 10000000000, il retera 6545029159. pour le quarré du Sinus de 54. deg. dont la racine quarrée eft 80901; quand ce qui refte excede foooo. on ajoûte une unité dans les Tables; c'eft pourquoi l'on y trouve 80901, pour le Sinus de 54. deg.

PROPOSITION III.

THEOREM E.

La difference des Sinus des deux arcs également éloignez de 60. degrez, eft égale au Sinus de la moitié de la difference de ces deux arcs.

J

E dis que fi l'arc BD eft de 60. degrez, & que Fig. 4 les deux deux arcs BC, BE en foient également éloignez, en forte que l'arc ED, ou CD foit égal, foitla moitié de leur difference CE;la difference des Sinus EG, CI, des deux arcs BC, BE, eft égale au Sinus EO, ou CO, de la moitié CD, ou DE de leur difference CE.

Si l'on tire du point C la ligne CH parallele au rayon AB, & au point F, où le rayon AD fe trouye coupé par le Sinus EG, la droite CF, on connoîtra ailement que le triangle ECF eft équilateral, & quela ligne EH, ou le Siņus EO, ou CO, eft la difference des Sinus EG, CI. C. Q. F. D.

COROLLAIRE. I.

Il s'enfuit de là, premierement que fi les Sinus de deux arcs également diftans de la fixième partie du Cercle, font donnez, l'on trouvera le Sinusde la difference de l'un de ces arcs à la fixiéme

Par exemple, foit donné le Sinus de 40. deg. à fçavoir 64278. & celui de 8o. degrez, à fçavoir 98480. qui font également diftans de 60. deg. qui eft la fixième partie du Cercle, l'on trouvera le Sinus de 20. deg. à fçavoir 34202. parce que la difference du Sinus de 40.deg. à celui de 80.étant égale au Sinus de 20. deg. il eft évident que fi l'on fouftrait le plus petit du plus grand, ce qui restera fera le Sinus cherché.

COROLLAIRE II.

Il s'enfuit encore que fi le Sinus d'un arc moin dre que la fixième partie du Cercle eft donnée avec le Sinus de la difference de cet arc à la fixiéme partie du Cercle, on trouvera le Sinus d'un arc qui furpaffera autant la fixiéme partie du Cercle, que l'autre en étoit furpaffé.

Ainfi le Sinus de 50. deg. à fçavoir 76604. étant donné avec le Sinus de 10. deg. à fçavoir 17364. difference de so. deg. à la fixième partie du Cercle,on trouvera le Sinus de 70. d. Car dautant que la difference du Sinus de so deg. à celui de 70. eft égale au Sinus dero. deg. qui eft le défaut de 5o.d. à la fixiéme partie du Cercle, il eft évident que fi au Sinus de 50. deg. 76604. on ajoûte le Sinus de 10.deg. 17365. ce qui viendra, à fçavoir 93969, fera le Sinus de 70. deg. que l'on demande

COROLLAIRE III.

De même étant donné le Sinus de 70. deg. avec celui de 10. il est évident qu'en ôtant celui-ci de

PROPOSITION IV.

THEOREM E.

Le Sinus verfe d'un arc, & le Sinus droit de fon com
plement, font égaux au rayon
au rayon du Cercle.

S

Oit FG le Sinus verfe de l'arc GE, & ED, le Fig. ƒ
Sinus droit de fon complement EC; je dis que

FG, ou ED, font égaux au rayon AG.

Car puifque DE eft un parallelograme ED eft égale à AF, à quoi ajoûtant FG vient le rayon AG.

COROLLAIRE.

Il s'enfuit de là que le rayon étant donné, & le Sinus droit du complement de quelque arc, le Sinus verfe de cet arc fera connu; car en ôtant du rayon le Sinus droit donné, reftera le Sinus verfe cherché

le

Ou bien le Sinus verfe d'un arc étant donné avec rayon, le Sinus droit de fon complement fera connu; car en ôtant du rayon le Sinus verfe donné, reftera le Sinus droit cherché.

PROPOSITION V.

THEOREM E.

Les Quarrez des Sinus droit & verfe d'un arc font égaux an quarré de la foutendante du même arc.

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E l'arc CE le Sinus droit foit CF, & FE le Fig. 6.

DSinus verfe; je dis que leurs quarrez font

Fig. 6.

Fig. 7:

Pour le prouver. Le triangle CFE étant rectangle; il est évident que les quarrez de CF & de FE, fontégaux au quarré de CE.

COROLLAIRE.

Les Sinus droit & verfe d'un arc étant donc donnez, on connoîtra la foutendante de cet arc, & le Sinus droit de fa moitié.

Soit par exemple, EF. 6. & CF. 8. leurs quarrez 36. & 64. étant ajoûtez font 100. pour le quarré de CE, dont la racine quarrée est 10. qui eft ce que vaut la foutendante cherchée; & 5. est la valeur du Sinus droit du demi arc.

PROPOSITION VI.

THEOREM E.

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Au quart de Cercle, le Sinus droit d'un arc eft moyen
proportionnel entre la moitié du rayon,
le Sinus verfe d'un arc double.

Oit par exemple EC, double de l'arc ED; je dis que EH Sinus droit de ED, eft moyen proportionnel entre la moitié du rayon AG & EF Sinus verfe de l'arc double EC; c'eft-à-dire que comme la moitié du rayon AG eft à EH, ainsi ÈH eft à EF.

Pour le prouver. Aux deux triangles AHE CFE, l'angle AHE étant droit, & partant égal à CFE, & l'angle au point E étant commun; il s'enfuit que ces deux triangles font équiangles, & qu'ils ont les côtez au tour de l'angle commun E proportionnaux (par la 4. du 6.) c'est-à-dire que

comme la moitié de AE, fçavoir AG, eft à EH ainfi la moitié de CE, à fçavoir EH eft à EF. C. Q. F. D. il en eft de même au demi Cercle.

COROLLA IRI.

Il s'enfuit de là que fi le rayon eft donné, avec le Sinus droit de quelque arc, on trouvera le Sinus verfe d'un arc double; & enfuite l'on trouvera auffi le Sinus verse de cet arc double.

che 2.

Fig.15.

Soit, par exemple, le demi rayon AG 9. & EH PlanSinus droit de l'arc ED 6. on trouvera le Sinus verfe EF 4. Car puifqu'il y a même raison de AG à EH, que de EH à EF, il est évident, fuivant les regles des proportions, que le quarré de EH eft égal au produit de AG, EF. Si donc on divife le quarré de EH qui eft 36. par la valeur du demi rayon 9. il viendra le Sinus verse cherché ; à fçavoir 4.

Et pour trouver la valeur de CF Sinus droit de CE, double de ED, aprés avoir trouvé le Sinus verfe, il faut trouver (par la Propofition 4. ) le Sinus droit du complement de cet arc dou ble, & par le moyen de ce Sinus droit, trouver (par la 2. Propofition) les Sinus droit cherché.

Ou bien il s'enfuit qu'étant donné le Sinus verfe d'un arc avec le demi rayon, on trouvera le Sinus droit d'un arc, qui fera la moitié de l'arc propofé: Car puifqu'il y a même raifon du demi rayon au Sinus cherché, qu'il y a de ce même Sinus, au Sinus verfe de l'arc double propofé, il est évident par les regles des proportions, que fi l'on multiplie les deux extremes donnez, l'un par l'autre, le produit fera le quarré du Sinus cherché.

Soit, par exemple AG 9. &EF 4. fi vous les mul

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