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deux parties qui font entre elles comme les côtés.

dis

Prolongez DA en E, prenant AE AC; puis tirez EC: & je que DB. BC:: DA. AC. 1o. Le Triangle EAC eftifocele, puifque EAAC.

2o. L'angle extérieur CAD vaut les intérieurs oppofés ACE, *N. AEC*, qui font égaux, puifque 729. le Triangle eft ifocele.

Donc l'angle CAB = ACE alterne; car l'angle CAB eft moitié de CAD, par la construction: * N. donc EC & AB font paralleles *: 702. donc AB eft une parallele qui cou

*

pe

les côtés CD, DE du TrianN.gle CED proportionnellement*: 149. donc DB. BC: : DA. AE=AC: donc DB. BC: : DA. AC.

152. De-là, fi une ligne AB divife la bafe CD d'un Triangle proportionnellement aux côtés, elle partage en deux également l'angle oppofé CAD.

=

Si DB. BC:: DA. AE-AC, je dis que l'angle BAC BAD. Les parties des côtés coupés étant proportionnelles, la coupante AB eft parallele à la base EC*: donc l'angle BAC ACE alter- 149. AEC *.

ne =

=

* N.

* N.

Ainfi, comme l'angle extérieur 151, total CAD, qui comprend les angles BAC, BAD, vaut les inté

rieurs oppofés égaux

BAC BAD.

=

153. EUDOXE. Je vois

, l'angle * N.

que vous

129.

Fig

allez couper une ligne AB en parties 114. proportionnelles aux parties CD, DE, &c. d'une autre CF.

ARISTE. Soient donc AB & CF paralleles, coupées par les obliques CAG, FBG, DHG, EIG.

1o. L'angle GAH=GCD,&

GDC*. Donc

l'angle GHA
les deux Triangles AGH, CGD
font femblables *.

104.

2o. Par la même raison, les 133,

N

N

Triangles HGI, DGE, &c. le font.

Cela pofé, je dis que AH. HI:: CD. DE, &c.

Dans les Triangles femblabes, les côtés homologues, ou oppofés aux mêmes angles, font pro* N. portionnels *: donc AH. CD:: 750. HG. DG :: HI. DE.

*N. Donc AH. CD: : HI. DE*: donc en raison alterne (a) AH. HI:: CD. DE.

704.

Fig.

154. EUDOXE. Je vous donne 115. deux lignes BC, CD: il faut leur trouver une troisième proportionnelle.

ARISTE. 1°. Je fais des lignes données une ligne droite BCD. 2o. Je prens BE=CD, =CD, pour en faire avec BC un angle quelconque EBC.

3o. De E j'abaisse une ligne droite EC fur C; & de D, j'éleve une parallele.

(4) Calcul Littéral, N. 144.

4°. Je prolonge BE jufqu'à la parallele DF; & je dis que le prolongement EF eft la troisième proportionnelle, ou que BC. CD :: CD.EF.

BC. CD:: BE. EF*: or CD
BE, par la construction.
Donc BC. CD:: CD. EF, ou
BC. CD. EF *

155. EUDOXE. Enfin, je vous donne trois lignes AB, AC, BD : il faut trouver la quatrième proportionnelle.

ARISTE. 1°. De la première AB & de la feconde AC, je fais un angle BAC.

2o. Joignant la troisième BD à la première AB, j'en fais une ligne droite ABD.

3°. Du point de jonction B, je tire une ligne droite en C, & du point D, j'éleve une parallele à BC.

Enfin, je prolonge AC jufqu'à la parallele; & je dis que le pro

* N 149.

* N.

longement CE eft la quatrième proportionnelle.

AB. BD:: AC. CE*: donc

149. AB. AC:: BD. CE (a).

Fig.

EUDOXE. D'autres Propofitions donneront d'autres Problêmes.

PROPOSITION VII.

156. ARISTE. Si de l'angle droit 117. ABC d'un Triangle rectangle ACB, on abaiffe une perpendiculaire BD fur la bafe; elle divifera le Triangle en deux autres femblables au pre

mier.

Je dis que les Triangles ACB, BDC, BDA font femblables.

1o. Ils ont un angle droit, chacun, ABC par l'hypothèse, & ADB, CDB, formés par la per*N.95. pendiculaire BD *.

2o. Les deux Triangles ACB & BDC ont l'angle C commun: * N. donc ils ont les trois angles égaux*. 3°. Les Triangles ACB & (a) Calcul Littéral, N. 144.

133.

BDA