BDA ont l'angle A commun: donc ils ont auffi les trois angles égaux.

Donc les trois Triangles ayant les angles égaux, font femblables *.

PROPOSITION VIII.

157. La perpendiculaire abaiffée du fommet d'un Triangle rectangle fur hypotenufe AC, eft moyenne proportionnelle entre les deux parties de l'hypotenuse.

÷

Je dis que AD. DB. DC. Les trois Triangles formés d'un feul par la perpendiculaire étant femblables, leurscôtés homolo

font pro

* Na

130.

gues ou de même
nom, font
portionnels*: donc le moyen côté
AD du Triangle BDA eft au plus
petit BD, comme le moyen côté
BD du Triangle BDC eft au plus
petit DC donc AD. DB.
DC.

158. EUDOX E. Jattens une moyenne proportionnelle entre deux Tome II.

K

*

156.

N.

* N.

150.

118.

Fig. lignes données EF, FG.

ARISTE. 1°. Les joignant par leur extrémité F, j'en fais une ligne droite EG.

2o. Du milieu H de la droite EG, je décris un demi-cercle. 3°. Du point commun F, j'éleve à la circonférence une perpendiculaire IF.

je dis

Enfin je forme l'angle EIG; & que IF eft la moyenne proportionnelle, ou que

FG.

EF. IF.

L'angle EIG appuyé fur le dia

* N. métre eft droit *.

Et IF eft une perpendiculaire qui aboutit au fommet de l'angle droit, par la conftruction: donc *N. EF. IF.FG*.

IST

Figa

Encore quelques Propofitions.

PROPOSITION IX.

159. Si deux Triangles ABC,

11 EDF, ont leurs côtés proportionnels » it's fant femblables.

Soient AC. AB:: DF. DE; AB. BC::DE. EF; BC. CA:: EF. FD.

Je dis que les Triangles ABC, EDF font femblables.

1o. Faites fur AB l'angle BAG =D, & l'angle ABG-E: les deux Triangles EDF, GAB font femblables *

égaux.

, ayant les angles

2°. Par l'hypothèse & à cause de ces Triangles femblables, AC. AB:: DF. DE:: AG. AB.

Donc deux raifons égales à une troifième étant égales entre elles, AC. AB:: AG. AB (a): donc le côté AC= AG (b), puifque deux grandeurs qui ont même raifon à une troisième font égales.

Par le même principe, BC= BG.

D'ailleurs le troisième côté

AB eft commun.

(a) Calcul Littéral, N. 104.

(b) Ibid. N. 106.

* N.

133.

Donc les deux Triangles ABC, GAB font égaux, & par confé*N. quent femblables

734.

119.

Or le Triangle GAB est semblable au Triangle EDF, par la construction; donc les Triangles ABC, EDF font femblables.

PROPOSITION X.

160. Deux Triangles font fem

Fig: blables, dès qu'ils ont un angle égal & les côtés qui le comprennent, proportionnels

Soient l'angle BAC=D, & les côtés AB, AC, & DE, DF, proportionnels.

Faites l'angle BAG=D, le Triangle BAG femblable au Triangle EDF & je dis que les Triangles ABC, EDF font femblables.

10. Par l'hypothèse, AC, AB DF.DE::AG. AB: donc AC.

AB:: AG. AB (a): donc AC=
AG (b).

=

2°. L'angle BAC=D=BAG par la conftruction: donc l'angle BAC BAG.

Ainfi les deux Triangles ABC & ABG ont deux côtés égaux AC, AG, un côté commun AB, & un angle égal compris entre deux côtés égaux: donc ils font égaux, & par conféquent fem-N blables *.

136.

*N

Mais les Triangles ABG & 134. EDF font femblables par la conftruction: donc les Triangles ABC & EDF le font.

PROPOSITION XI.

161. Si d'un point A hors du cercle, on mene au cercle une Tangente &une Sécante, la Tangente eft moyenne proportionnelle entre la Sé

(a) Calcul Littéral, N. 104 (b) Ibid. N. 106

Fig

120,