112& 114.

cante entiere & fa partie extérieure au cercle.

Soient AB, Tangente; AC, Sécante; AD fa partie extérieure: tirez BC, BD: je dis que AC. AB. AD.

cun,

1o. Les deux Triangles ABC, ADB ont l'angle A commun. 2°. L'angle infcrit BCD & l'angle du petit fegment ABD font N. égaux, ayant pour mefure, chala moitié de l'arc BD *.* Donc l'angle ABC=ADB: * N. donc les deux Triangles ABC, 730. ADB étant femblables*, leurs côtés homologues font proportionnels or le côté AC du grand Triangle & le côté AB du petit, le côté AB du grand & le côté AD du petit font homologues, ou oppofés aux mêmes angles : donc AC. AB. AD.

De-là, 1°. Si l'on tire une autre Tangente AG de l'autre côté de la Sécante AC, AG fera égale

A

ment moyenne proportionnelle
par la même raison.

20. Les Tangentes AB &
ér AG tirées du même point, étant
e également moyennes propor-
tionnelles, elles ont même raifon
Bà la même grandeuf AD, & par
conféquent elles font égales *.
3o. Le quarré de la Tangente
f. AB eft égal au rectangle fait de la
Sécante AC par fa partie extérieu-
re AD (a), puifque dans une pro-
portion continue, le quarré du
30 moyen eft égal au produit des ex-
trêmes.

162. EUDOXE. Et c'est apparemment à la lumière de la dernière Propofition, que vous divifez une ligne en moyenne & extrême raison, ou enforte que la plus grande partie foit moyenne entre la toute la plus petite partie.

ARISTE. Oui: faut-il divifer la

ligne AB?

(a) Calcul Littéral, N. 136.

* N.

106.

Fig

120.

1o. De B, j'éleve la perpendi culaire BE, moitié de AB.

2o. De E, intervalle EB, je décris un cercle dont le diamétre vaut AB, valant deux fois EB, moitié de AB.

3°. Je tire la Sécante AC, & fais l'angle CBD.

4°. Sur AB, je prens AF= AD. AF eft la plus grande partie appellée la Médiane; FB la plus petite; AB, la Toute.

Et je dis que AB eft divisée au point F en moyenne & extrême raison, ou que÷÷AB. AF. FB. AC. AB:: AB. AD*: donc 161. AC. AC AB. AB:: ABAD. * N. AD*.

*N.

744.

-

Or AC-AB-AD, par la conftruction, & AB-AF÷FB: Donc AD. AB:: FB. AD.

la con

Mais AD-AF par ftruction: donc AF. AB :: FB. AF.

Donc en raison inverfe, AB.

AF

AF :: AF. FB, ou AB. AF.
FB*.

163. EUDOXE. Cela va nous donner un Triangle ifocele dont chacun des angles de la bafe foit double de l'angle du fommet.

ARISTE. 1°. Je divife une ligne GH en moyenne & extrême raifon *.

*N.

145.

Fig.

121,

[* N.

2o. Des points H & I, inter- 162, valle GI, mediane, je décris deux arcs qui fe coupent en K.

3°. Je fais les côtés GK, HK IK; & je dis que GHK eft le Triangle ifocele dont il s'agit. Je dis donc que l'angle GHK; auffi-bien que GKH, eft double de l'angle G, ou IGK.

1o. HK=IK=GI, par la conftruction:donc les deux Triangles IHK, GIK, ayant, chacun, deux côtés égaux, font ifoceles*. 2o. Par la conftruction, GH. 120. GI::GI.IH: donc GH.HK=GI :: HK. IH: donc les deux TrianTome II.

L

gles IHK, GHK, ayant un angle commun KHI, & les côtés GH & HK, HK & IH, propor* N. tionnels, font semblables *: donc 760. le Triangle GHK eft ifocele auffi. Or l'angle extérieur HIK IGK+GKI, intérieurs oppofés

* N. d'un ifocele *.

129.

122.

=

Donc l'angle GHK

=

IGK + GKI IGK : donc l'angle GHK, auffi - bien que GKH = GHK eft double de l'angle IGKG.

164. De-là, dans un Triangle Fig. ifocele GHK, qui a le fommet au centre G d'un cercle, & pour bafe la mediane HK = IG, d'un de fes côtés, la bafe HK eft corde de 36 dégrés.

L'angle GHK, auffi-bien que GKH eft double de l'angle G du * N. fommet*: donc les angles GHK, 163. GKH, font de 72 dégrés, cha& l'angle G de 36: car 1o. 72 eft double de 36, & deux fois

cun