PROPOSITION IV.

31. ARISTE. D'un point donné hors d'une ligne, on ne tire qu'une perpendiculaire.

Soit AB perpendiculaire fur Fig.10, CD: je dis que AE ne l'eft pas. Le point A étant également éloigné des points oppofés C, D, le point E, le feroit auffi*: or, *N.23. E ne l'eft pas, puifqu'il fe trouve entre C & B, qui l'eft*: donc *N.23. AE n'eft pas perpendiculaire.

EUDOXE. Ainfi, deux perpendiculaires fur une même ligne étant prolongées à l'infini, ne fe rencontreront jamais.

ARISTE. Autrement on abaisseroit du point de rencontre A deux perpendiculaires AB, AE, fur la même ligne CD, ce qui n'eft pas poffible *.

PROPOSITION V.

32. D'un point donné dans une

*N.31.

Fig.11.

ligne, on n'éleve pas deux perpen

diculaires.

Soit AB perpendiculaire fur CD: je dis que AE ne l'eft pas.

AB est également éloignée des

*N.23. points C, D*: donc AE qui fe trouve entre AB & AD; panche vers D: donc AE n'eft pas per

*N.22. pendiculaire *.

L'Oblique,

Fig.12. 33. C'eft une ligne AE qui panche vers l'un des côtés de la ligne CE qu'elle rencontre.

Perpendicule AB, ou perpendiculaire, c'eft ici même cho

fe.

per

J'appelle éloignement du perpendicule une ligne droite BE comprife entre le pied de la pendiculaire & le pied de l'oblique, parties du même point A. Cela fuppofé;

PROPOSITION I.

34. La perpendiculaire eft la plus courte des lignes tirées d'un point une ligne.

Soit la perpendiculaire AB avec Fig.13 l'oblique AD ou AC.

1o. Je prolonge AB en G, de moitié. Ainfi BA =BG.

2o. Je tire l'oblique DG; & comme BDC eft perpendiculaire

fur la perpendiculaire AB+BG*, *N.27. DA*.

DG

Enfin, je dis que AB <AD.

*N.23.

ABG <ADG*: donc AB eft *N.15, moitié d'une ligne plus courte, & AD moitié d'une ligne plus longue, donc AB <AD.

PROPOSITION II.

35. Les obliques tirées du même point fur la même ligne, font d'autant plus longues, qu'elles font plus éloignées de la perpendiculaire.

Je dis que l'oblique AC AD Fig.13.

moins éloignée de la perpendiculaire AB.

1°. AD=DG, & AC=CG *. *N.IS. 2o. ACE ADE *. Ainfi *N.II. ACEG> ADEG*, car à la même chofe,ajoutez chofes inégales: la plus grande fait la plus grande quantité.

Fig.14.

3o. Par le même principe GED> GD, & par conféquent ADEG ADG.

Donc ACEG

ADG.

ADEG >

Donc AC eft moitié d'une ligne plus longue, & AD, moitié d'une ligne plus courte.

Donc AC

AD.

Par conféquent, les obliques parties du même point, & également éloignées de la perpendicu laire, font égales. De-là,

I.

36. Deux obliques AE, AF, appuyées fur le même point A d'une perpendiculaire

perpendiculaire AB, avec même. éloignement EB=BF du perpendicule, font égales.

AE & AF tirées du même point A, font également éloignées de la perpendiculaire AB, puifque EB FB: donc AE & AF font

=

égales *.

per

Dailleurs le point B de la pendiculaire AB étant également éloigné des points E, F, puifque

*N.35.

EB=FB; A l'eft de même * : *N.32. donc AE AF. =

Par conféquent, fi les

perpendiculaires font égales, & les éloignemens du perpendicule, égaux; les obliques font égales.

I I.

37. S'il y a égalité de perpendiculaires avec égalité d'obliques, les éloignemens du perpendicule font égaux.

Soient la perpendiculaire com- Fig.14. mune AB, & les obliques égales

Tome II.

B