* N. l'autre, j'aurois le quarré AD*. Cela fuppofé; commençons la célébre Propofition de Py

201.

Fig.

par

tagore.

PROPOSITIƠN I.

204. Dans le Triangle rectan

744. gle le quarré de l'hypoténufe eft égal aux quarrés des deux autres côtés. Soient ABC Triangle rectangles AE, quarré de l'hypoténufe AC; AI & CF, quarrés des côtés AB & BC; BKL partageant le quarré AE en deux rectangles AL, KE; BD & BE, CH & AG obliques.

Je dis +CF.

que

le quarré AE AI

1o. Le côté AHAB côté * N. du même quarré*, AC=AD, 171. & l'angle HAC-BAD, puifqu'ils font faits chacun, d'un angle droit HAB ou DAC, & d'un angle commun BAC: donc les deux Triangles ACH, ABD ayant deux côtés égaux à deux cô

rés,& les angles compris, égaux, font égaux *

Or le Triangle ACH eft moitié 136. du quarré AI*: car il a même ba- * N. se AH & même hauteur perpen- 187. diculaire AB, puifqu'il eft contenu entre mêmes paralleles HA & IB prolongée en C.

Le Triangle ABD eft auffi moitié du rectangle AL, ayant même bafe AD & même hauteur AK comprise entre les paralleles AD & LK + KB.

Donc la moitié du rectangle AL vaut la moitié du quarré AI: donc AL AI*.

2o. Par la même raifon, le rectangle KE vaut le quarré CF. Donc le quarré entier AE= AI+ CF.

EUDOXE. La Proposition se dé

montre encore autrement, ce femble.

ARISTE. Je vous écoute à mon

*N.II.

tour.

145.

Fig. EUDOXE. Soit le Triangle rectangle ABC, réduit par la perpendiculaire BD en trois TrianN. gles femblables *, dont les cô756. tés homologues font proportion* N. nels*.

150.

*N.

Je dis que AC2
BC2 (a).

AB2+

AC. AB.AD*: donc ACX

150. AD=AB2 (b).

Fig.

De même ÷ AC. BC. DC: donc AC-DC=BC2:

Or AC× AD+A€× DC, ou AC×AD+DC=AC2.

Donc ACAB2+BC2. ARISTE. La Démonftration eft plus précise. Venons à l'inverse de la Propofition.

PROPOSITION II.

205. Si le quarré de l'un des côtés

146. d'un Triangle ABC eft égal aux

(a) Calcul Littéral, N. 21..
(b) Ibid. N. 136.

quarrés des deux autres côtés, l'angle compris entre ces deux autres côtés eft droit.

Soient BD=AB, & perpendiculaire fur le point B de BC, faifant l'angle droit CBD; AC' =AB2+BC2. Tirez l'hypoté nuse CD.

Je dis que l'angle ABC eft

droit.

4

Or AC2 BC2 + AB2

BD2:

=

Donc AC2= CD2.

Donc AC=CD (a), les racines étant égales, quand les puiffances le font.

Donc, les deux Triangles ayant les côtés égaux font semblables *. Donc puifque l'angle CBD eft droit par la conftruction, l'angle correfpondant ABC l'eft.

(a) Calcul Littéral, N. 186.

* N.

134.

Fig.

206. EUDOXE. Si lon vous 147. demande un quarré égal à deux quarrés donnés....

ARISTE. Soient AB, BC, côtés des deux quarrés donnés. 1o. Je fais de ces côtés un an

* N. gle droit ABC*.

2o. Je lui tire une bafe AC; &

je dis

que AC eft l'hypoténuse, & AB, BC font les côtés d'un Triangle 120. rectangle ABE*: donc AC * N. AB2 + BC2*.

ACAB2+BC2.

* N.

204.

148.

204.

Fig.

N.

* N.

206.

=

207. EUDOXE. Mais s'il faut un quarré égal à trois .... ARISTE. Soient AD, AB,BC, côtés des trois.

1o. Ayant fait de AB, BC, un angle droit, je tire la base AC. 2o. Ayant fait de AC, AD un angle droit, je mene la bafe CD. Et je dis que CD2=AD2+ AB2+ BC2.

CD-AC2+ AD2 *: or AC2
AB+BC*, donc CD