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VIII. ENTRETIEN.

Sur les Rectangles & les Quarrés comparés enfemble.

ARISTE.

Eudoxe, pour quel-
Ous en ferez quitte,

Fig.

ques Propofitions, mais qui demandent de l'attention. •

EUDOXE. L'attention me coute peu quand il s'agit d'appercevoir des vérités que l'on ne fçauroit vous difputer.

ARISTE. Commençons:

PROPOSITION I.

221. Si l'on coupe une ligne droi

758. te AB par le milieu C, & qu'on y ajoute une ligne droite BD, enforte que les deux faffent une ligne droite AD; le rectangle AI fait de la toute AD & de l'ajoutée BD, avec le quarré de la moitié CB de la pre

miere

miere AВ coupée par le milieu C, vaut le quarré fait de l'ajoutée BD &de la moitié CB de la premiere

AB.

Soient BG parallele à DE; IK +KL parallele à DC+CA; DF diagonale du quarré CE coupant les paralleles en H: donc BI & KG, parallelogrames fur la diagonale, font deux quarrés *; & KG eft quarré de KH ou de CB

*N. 215.

* N.

KH comprife entre mêmes paralleles. Enfin HE & CH font égaux n'étant pas coupé par la diagonale *; & CH-AK de même 191. bafe & de même hauteur par la * N. conftruction*: donc HE=AK. 186. Cela pofé; je dis que AI+ KG=CE.

AI+KG=CI+KG+HE, ou AK=HE: or CI+KG+ HE CE:

=

Donc AI+KG=CE.
PROPOSITION II.

222. Si l'on coupe une ligne BC 159,

Tome II.

P

Fig

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également en D, & inégalement en E; le rectangle fait des parties inégales BE, EC, avec le quarré de la partie DE du milieu, vaut le quarré DG de la moitié DC de la ligne BC..

Soient HM+ MI parallele à BD+DC; NE parallele à LD; LC diagonale.

1o. MN, EI font deux quar

rés *

2o. MN quarré de MF=DE, l'eft de DE.

par

3°. BF eft le rectangle de BE EC CI EF.

Cela pofé; je dis que BF+ MN=DG.

1o. BM

DI, ayant même

* N. bafe & même hauteur *.

186. 2°, DF=FG*, puifque la dia

* N.

191. gonale ne les traverse

pas.

Donc BMDF, ou BF

DI+FG:

Donc BF+MN=DI+FG

+MN.

Or DI+FG+ MNDG: Donc BFMN-DG. 223. De-là, fi l'on divife une ligne BC en parties égales, & en parties inégales, le rectangle des parties inégales BE, EC vaut le quarré de la moitié de la figne divifée, moins le quarré du fegment du milieu.

PROPOSITION III.

224. Si l'on divife une ligne en deux, le quarré de la toute vaut les deux quarrés des deux parties, plus deux fois le rectangle d'une partie

par

l'autre.

Divisons BC en deux au point, Fig.

D.

Je dis que BC2

+2BD x DC.

BD2+DC2

Soit BDr; & DC=x: donc BC=r+x: donc BC2

q2 + 2rx + x2, ou r2 + x2 + 2rx (a).

(a) Calcul Littéral, N. 35.

160.

Fig.

Mais r2

BD2, x2 — DC2;

=

2rx 2BD x DC: donc BC2 =BD2+DC2 + 2BD × DC.

PROPOSITION IV.

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225. Enfin, fi l'on divife une ligne en trois le quarré de la toute vaut les trois quarrés des parties, plus deux fois le rectangle de la premiere par la feconde; plus deux fois le rectangle de la premiere par la troifième ; plus deux fois le rectangle de la feconde par la troisième.

Divifons BC en trois aux points

161. D, E.

Je dis que BC2= - BD2 + DE2 + EC2+ 2BD × DE+ 2BD x EC + 2DEX EC.

Soit BD=r

DE=x

EC=y.

Donc BC=r+x+y: donc BC2=r+x+yxr+x+y.

Voyons quel eft ce produit...

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