AE, AF: je dis
Si BE> ou

que

AE

BE-BF. BF, l'oblique

ou < AF*: or AE=AF:

*N 35, donc BE=BF.

III.

Fig.15. 38. La perpendiculaire eft la même de part & d'autre, quand les obliques font égales, & les éloignemens du perpendicule égaux.

Soient CE & CF, obliques égales; BF & BE, éloignemens du perpendicule égaux: je dis que BC eft la perpendiculaire de part

& d'autre.

Si BC étant perpendiculaire d'une part, BCA l'étoit de l'autre, CE feroit l'oblique d'une part, tandis que FA feroit l'oblique éga*N.35.le de l'autre part: or*, FAD FC-CE.

Donc BC eft la perpendicu laire de part & d'autre.

De-là, fi les obliques font éga

les, & les éloignemens du perpendicule égaux, les perpendiculaires font égales.

IV.

39. Si l'éloignement du perpendicule eft le même, mais l'oblique plus grande, la perpendiculaire eft plus grande.

Suppofons BF-BE, mais AF > CE, Je dis que AB> CB. 1o. Si AB⇒CB, AF=CF CE*.

2o. Si ABCB, AF CF,

ou CE*.

Donc fi AFCE AB

CB.

Enfin, venons aux paralleles.

Les Paralleles.

40. Ce font des lignes qui étant mifes à côté les unes des autres, font également éloignées dans tous leurs points correfpondants. De-là.

Bij

Fig.1

*N.36.

*N.35.

Fig.16.

PROPOSITION I.

41. Des que deux points A, B, d'une ligne droite ABE, font également éloignés de deux points C, D, d'une autre CDF mife à côté, les deux lignes font paralleles.

S'il fe trouvoit dans une des lignes un point G qui s'écartât, la ligne ne feroit plus droite contre N.16. l'hypotèfe*. Donc chacune des lignes ayant tous fes points également éloignés des points corref pondants de l'autre elles font

*N.49. paralleles *.

Par conféquent, fi l'on fuppofe que deux lignes ayent deux points communs, ce fera même ligne.

42. EUDOXE. Ainfi, deux lignes droites ne fe couperont pas en deux points: autrement, elles auroient deux points communs; & ce feroit la même ligne. Mais avant que d'aller plus loin,

il s'agit de tirer par un point donné B une parallele à une ligne don

née x.

ARISTE. 1°. Du point donné B, Fig.17. j'abaiffe une perpendiculaire BF fur la ligne donnée x.

2o. Sur la ligne donnée x, j'éleve une perpendiculaireGC—BF. 3°. Je mene par B, C, une lidroite z.

gne

Et je dis que z eft parallele à x. z étant tirée par les extremités B, C, de deux perpendiculaires égales FB, GC, eft également éloignée de x dans deux points, & par conféquent dans tous fes points*: donc z eft parallele à x. Avançons.

PROPOSITION II.

43. Deux paralleles prolongées à Pinfini ne fe toucheront jamais. Elles feront toujours également éloignées l'une de l'autre*: donc, &c.

*N.41;

*N.40.

PROPOSITION III.

Fig.18. 44. Deux perpendiculaires AB, CD, fur une ligne EF font paral

leles.

Si l'une étoit inclinée vers l'autre elles fe rencontreroient, comme AD, CD; & d'un point D, l'on tireroit deux perpendiculaires DA, DC fur une ligne *N.31. droite EF, ce qui eft impoffible *.

PROPOSITION IV.

45. Dès qu'une ligne eft perpendiculaire fur deux lignes, elles font paralleles.

Les deux lignes jointes par une perpendiculaire font perpendicu

*N.27. laires fur elle *: or deux perpendiculaires fur une ligne font paralleles *.

*N.44.

PROPOSITION V.

Fig.19.46. Entre deux paralleles CD; EF, une ligne perpendiculaire fur