ARISTE. 1o. D'un point E pris à volonté hors du plan MN, j'a- Fig. baiffe une perpendiculaire EF fur le plan *.

per

200.

300.

2o. Par le point donné B, je * N. mene une parallele GB à la pendiculaire EF; & GB eft la perpendiculaire qu'il falloit tirer,puifque de deux paralleles, fi l'une eft perpendiculaire, l'autre l'eft *. PROPOSITION VI.

302. La commune fection de deux plans, ou la ligne commune aux deux plans qui fe coupent, eft une ligne droite.

* N.

298.

Soient F, G, deux points com- Fig. muns aux deux plans BC, DE; 201. FG, ligne droite tirée de F en G, extrémités de la commune fection. Je dis què la commune fection eft la droite FG.

Si la commune section eft, non la droite FG, mais la courbe FHG, ou FIG, le plan BC ou DE eft plan, par l'hypothèse, fans Tome IL

V

l'être en effet, puifqu'une de fes lignes FHG, où FIG s'écartant de la droite, empêchera qu'une ligne droite tournant fur le plan immédiatement ne la touche éga*N 90.lement partout & fans obftacle *. Si l'on veut que la droite tirée de F en G dans le plan BC foit, non FG, mais FHG, & que la droite tirée de Fen G dans le plan DE foit, non FG, mais FIG; les deux droites enfermeront un ef *N. 22. pace FIGHI, ce qui ne fe peut*. PROPOSITION. VII. 303. On ne tire par un point qu'uperpendiculaire au plan.

202.

ne

Soit AB perpendiculaire fur Fig. CD; je dis que BE ne l'eft pas. Si BE eft perpendiculaire comme AB, & que BF foit la commune fection du plan CD & du plan BEF=ABE; l'angle EBF fera droit comme ABF, ce qui eft impoffible, puifque EBF n'eft qu'une partie de ABF.

Par la même raison, du même point E, l'on ne tirera qu'une perpendiculaire EF fur le plan car fi EB l'étoit auffi, l'angle EBF feroit droit comme EFB, ce qui ne fe peut *.

PROPOSITION VIII. 304. Si la même ligne eft perpendiculaire fur deux plans, ils font paralleles.

* N.

122.

Fig.

Soit BC perpendiculaire aux 203. deux plans x, z: je dis que x, z font paralleles.

BC, perpendiculaire fur les deux plans x, z, l'eft à une ligne quelconque BD, ou CE paffant par les points de fection B, C: donc toutes les lignes correfpondantes qui paffent par les points B, C, font perpendiculaires fur BC, & par conféquent paralleles entr'elles*: or elles font les deux plans*: donc ils font paralleles. *N.44. Par la même raison, fi une ligne eft perpendiculaire fur trois

** N

Fig.

plans, ils feront paralleles, une ligne perpendiculaire fur l'un, le fera fur les autres.

PROPOSITION IX.

305. Deux lignes GH, IH, 204. qui fe rencontrent dans un plan, & fe continuent, ne font pas une feule ligne droite continuée IK; mais après s'etre rencontrées, elles fe feparent. Du point de rencontre H, intervalle IH, décrivez un cercle ILM:

*N.SS.

Si les droites GH & IH fe continuent en ligne droite commune HK; les droites GHK & IHK, paffant par le centre H, ferent deux diamétres *: donc le fegment GLKH fera demi-cercle, auffi-bien que ILKH: donc la partie GLKH fera égale au tout ILKH, ce qui eft abfurde.

Ainfi, GH & IH fe fépareront comme HK, HN.

Par le même principe, deux

lignes droites quelconques venant à fe rencontrer, se coupent fans faire une ligne droite commune & continuée.

PROPOSITION X.

306. Une ligne droite BC tirée dans un plan parallelement au plan, n'a point une partie hors du plan.

205.

Fig

Elle feroit parallele fans l'être **N.40, puifqu'elle s'écarteroit dans un point.

Auffi, Soit BC, droite tirée dans le plan DE parallelement au plan:

Je dis que CF fuppofée hors du plan, n'est point une partie de la droite BC continuée.

Tirez dans le plan la ligne CG perpendiculaire à BC, & CH perpendiculaire CG.

Les angles BCG, GCH font *N.9.5+ 'droits, étant faits par des perpendiculaires donc BC & CH font même ligne, puifque la même li